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其它题目的分析详见【youcans

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用于建造台阶的石材和其他材料经受着持续的长期磨损并且这种磨损可能是不均匀的。

问题的任务是开发一个模型通过特定楼梯的磨损模式得出以下基本预测

楼梯使用的频率。

使用楼梯时是否更倾向于某一方向。

同时使用楼梯的人数例如人们是否成对并排爬楼梯还是单列行走。

进一步地假设已经获得楼梯的建造年代、使用方式以及建筑中日常生活模式的估算信息需要回答以下问题

磨损是否与现有信息一致楼梯的年龄及其估算的可靠性如何楼梯是否经历过维修或翻修能否确定材料的来源例如石材的磨损是否与考古学家认为的原始采石场材料一致若使用木材其磨损是否与假定使用的树种和年代相符有关楼梯典型每日使用人数的信息以及是否有大量人群在短时间内使用或少量人群长期使用的情况

2.1

楼梯的使用频率可以通过磨损深度与材料的磨损速率之间的关系推导出来。

以下将具体讨论所需数据、假设条件以及模型推导过程。

2.2

使用激光扫描或高精度3D建模技术获取每一级台阶的表面高度变化。

关键指标磨损深度

()单位人次使用对材料造成的磨损深度毫米/人次可通过实验测得。

非破坏性测量方法

材料分析通过便携式X射线荧光仪XRF获取材料成分结合实验数据确定磨损速率。

其他辅助信息

使用的历史记录如建筑物的使用时间、功能宗教场所、住宅等以及可能的高峰使用时期。

2.3

假设楼梯的磨损主要集中在中心区域所有使用者大致遵循相似的路径。

无重大维修假设

若楼梯中央和边缘的磨损显著不同可分区域计算磨损深度构建更精细的模型

\frac{d_{center}

在实验室中模拟不同频率的磨损验证磨损深度与使用人次的线性关系。

历史数据验证

该模型通过分析楼梯磨损深度、材料特性和历史时间计算出楼梯的日均使用频率。

模型的简单线性结构便于应用并可扩展至处理更复杂的磨损模式。

需要注意的是模型的准确性依赖于材料磨损速率

微分方程数值解法

微分方程是描述系统的状态随时间和空间演化的数学工具。

物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题很多可以用微分方程求解。

微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域也有广泛应用。

微分方程按自变量个数分为只有一个自变量的常微分方程Ordinary

Differential

Equations和包含两个或两个以上独立变量的偏微分方程Partial

Differential

Equations。

微分方程按阶数分为一阶、二阶、高阶微分方程的阶数取决于方程中最高次导数的阶数。

微分方程还可以分为非齐次常变系数非线性初值问题/边界问题…

求解常微分方程的基本方法有欧拉法、龙格库塔法等可以详见各种教材撰写数模竞赛论文时还是可以抄几段的。

本文沿用“编程方案”的概念不涉及这些算法的具体内容只探讨如何使用

Python

算法库和数学工具包包括最优化、线性代数、积分、插值、特殊函数、傅里叶变换、信号和图像处理、常微分方程求解等模块。

有人介绍

Scipy

提供了高维数组的实现与计算的功能如线性代数运算、傅里叶变换及随机数生成另外还提供了与

C/C

是可视化工具包可以方便地绘制各种数据可视化图表如折线图、散点图、直方图、条形图、箱形图、饼图、三维图等等。

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**是求解微分方程的具体方法通过数值积分来求解常微分方程组。

在

odeint

lsoda可以求解一阶刚性系统和非刚性系统的初值问题。

官网介绍详见

SciPy

求解微分方程初值问题(scipy.integrate.odeint)

from

plt.title(scipy.integrate.odeint)

plt.show()例程运行结果