处理方法

∭Ωf(x,y,z)dxdydz∭Ωf(rsin⁡φcos⁡θ,rsin⁡θsin⁡φ,rcos⁡φ)r2sin⁡φdθdφdr\iiint

\limits_{\Omega}

drΩ∭​f(x,y,z)dxdydzΩ∭​f(rsinφcosθ,rsinθsinφ,rcosφ)r2sinφdθdφdr

然后一般按如下顺序写出积分式

f(r,\***ta,\varphi)dr∫dθ∫dφ∫f(r,θ,φ)dr

由于“后积先定限”所以先处理方位角即下图中1的轨迹随后处理仰角即下图中2的轨迹两个角取值范围都是[0,2π][0,2\pi][0,2π]

\limits_{\Omega}(x^2y^2)dvΩ∭​(x2y2)dv其中Ω\OmegaΩ是右半球面x2y2z2a2(y≥0,a0)x^2y^2z^2a^2\text{

}(y\ge

\limits_{\Omega}r^2\sin^2\varphi

·r^2\sin

d\varphiΩ∭​r2sin2φ⋅r2sinφdrdθdφ

∫0πdθ∫0πdφ∫0ar4sin⁡3φdr\int_0^\pi

d\***ta

其中在drdrdr时sin⁡3φ\sin^3\varphisin3φ是常量可提出剩下就是对r4r^4r4积分即变为

d\***ta

a55\frac{a^5}{5}5a5​是常数可提出并且这个对φ\varphiφ积分完要对θ\***taθ积分可以先变换顺序先对θ\***taθ积分则原式变为

π5a3∫0πsin⁡3φdφ\frac{\pi}{5}a^3

\int_0^\pi

对于sin⁡3φ\sin^3\varphisin3φ的积分步骤中用到了点火公式过程如下

∫0πsin⁡3φdφ∫0π2sin⁡3φdφ∫π2πsin⁡3φdφ23∫π2πsin⁡3φdφ\int_0^\pi

\sin^3\varphi

d\varphi∫0π​sin3φdφ∫02π​​sin3φdφ∫2π​π​sin3φdφ32​∫2π​π​sin3φdφ

\pi

∫π2πsin⁡3φdφ∫π20sin⁡3(π−t)d(π−t)∫π20sin⁡3(π−t)d(−t)\int_{\frac\pi

2}^\pi

t)∫2π​π​sin3φdφ∫2π​0​sin3(π−t)d(π−t)∫2π​0​sin3(π−t)d(−t)

提出负号上下限颠倒则右侧积分式等于

∫0π2sin⁡3(π−t)dt\int_0^{\frac\pi

\sin^3(\pi

π5a3∫0πsin⁡3φdφπ5a3⋅(2323)415πa5\frac{\pi}{5}a^3

\int_0^\pi

d\varphi\frac{\pi}{5}a^3·(\frac

23\frac

a^55π​a3∫0π​sin3φdφ5π​a3⋅(32​32​)154​πa5

即最终结果