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96SEO 2026-02-19 17:39 0
src="https://img2024.cnblogs.com/blog/3289131/202510/3289131-20251031192837368-1921883122.png"
/>奇异值分解已经有一百多年的历史。
1873年Beltrami从双线性函数出发，引入线性变换，Beltrami
提出利用自由度使矩阵S的对角线以外的元素全部为零，即矩阵=Σ=𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜎,𝜎,···,𝜎)为对角矩阵。
于是用𝑈和𝑉分别左乘和右乘式，得到Beltrami在1873年得到的实正方矩阵的奇异值分解。
1874年Jordan也独立地推导出了实正方矩阵的奇异值分解。
后来，Autonne于1902年把奇异值分解推广到复正方矩阵；Eckart与Young于1936年又进一步把奇异值分解推广到一般的复长方形矩阵。
data-spm-anchor-id="5176.28103460.0.i6.2f2e2e31lEP2DV">一、SVD基本原理
奇异值分解（Singular
SVD）是一种强大的矩阵分解技术，可以将任意m×n实矩阵A分解为三个特定结构的矩阵乘积：
A
SVD的核心思想是：将原始矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中Σ中的奇异值表示了数据在不同方向上的"重要性"或"能量"。
通过保留最大的k个奇异值，可以实现数据的降维。
SVD与特征值分解的区别在于，SVD可以应用于任何实矩阵（包括非方阵），而特征值分解仅适用于方阵。
SVD在降维任务中发挥关键作用，通过保留最大的k个奇异值及其对应的奇异向量，可以将高维数据投影到低维空间，同时保留数据的主要特征。
应用示例：在机器学习中，SVD可用于特征提取，为分类和聚类任务提供更有效的特征表示。
图像可以表示为矩阵，每个元素代表一个像素的颜色强度。
通过SVD分解并保留最大的k个奇异值，可以实现图像压缩。
效果：保留前30个奇异值可将图像存储量减少到原始的约13%，同时保持图像的主要特征。
data-spm-anchor-id="5176.28103460.0.i7.2f2e2e31lEP2DV">具体案例
假设我们有一张25×15的黑白图像（375个像素点），通过SVD分解后：
class="brush:python;collapse:true;;gutter:true;">import
SVD在推荐系统中应用广泛，特别是基于协同过滤的推荐算法。
工作原理：
Prize竞赛中，基于SVD的协同过滤算法取得了显著成功。
Indexing）中发挥核心作用，用于消除同义词干扰并捕捉文本主题关联性。
LSI工作流程：
SVD可用于矩阵的低秩近似，通过截断奇异值，可以得到一个近似的低秩矩阵，常用于：
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