而复数特征值#xff0c;我们可以把它放在复数域中理解。

但是这里给出一个不那么简洁、但是更加直观的理解方式#xff1a;把它放在实空间中。

那么复数特征值表现的就是旋转等比放大…实数特征值的直观含义非常好理解它就是在对应的特征向量方向上的纯拉伸/压缩。

而复数特征值我们可以把它放在复数域中理解。

但是这里给出一个不那么简洁、但是更加直观的理解方式把它放在实空间中。

那么复数特征值表现的就是旋转等比放大/缩小。

我们不妨从一个二维空间说起

A(a11a12a12a22)

也就是说虽然每个特征值都有一个实部和一个虚部两个自由度但是由于特征值必然是共轭成对出现的那么两个特征值仍然只对应着一个实部和一个虚部两个自由度。

对特征向量而言同理。

也就是说一对复特征值给我们两个自由度一个模一个幅角。

一对特征向量也给我们两个向量一个是实部向量一个是虚部向量。

(x1x2)

那么可以证明当我们选取这两个向量为基时原线性变换的表述就变成了

Br(cos⁡(θ)−sin⁡(θ)sin⁡(θ)cos⁡(θ))

这是一个旋转矩阵乘以一个数字。

也就是说在特征向量的实部和虚部构成的基底下这个线性变换就是一个纯粹的旋转

外加一个等比放大倍数

我们可以看到经过坐标变换后蓝色空间变为红色空间就是一个纯粹的旋转过程了。

这里复数特征值和特征向量的含义就是

特征值的模代表着等比放大的倍数特征值的幅角代表着旋转的角度特征向量的实部向量和虚部向量代表着实现上述变换的一组基

λ1/2a±bi,λ3c

那么可以证明这个矩阵和下面这样一个分块矩阵相似也就是说我们可以通过选取某一个坐标系把这个线性变换写成如下形式

B(ab0−ba000c)

B(cos⁡(θ)−sin⁡(θ)0sin⁡(θ)cos⁡(θ)0001)(r000r000c)

我们可以看到这个变换就可以被分解成两个单独的变换一个是纯旋转在x-y平面中的旋转另一个纯伸缩在x-y平面上的均匀拉伸r倍以及在z方向上单向拉伸c倍。

实现这种变换的基就是复特征向量的实部向量、虚部向量、以及实特征值的特征向量。

具体讲假定矩阵A的特征向量为

v3(z1z2z3)

也就是说当我们拿到任意一个三维矩阵注意这里不考虑特征值重根的情况

我们可以把这个矩阵变成一个纯旋转和一个纯伸缩的两个变换的组合。

纯旋转的角度就是复数特征值的幅角旋转发生在复特征向量的实部向量和虚部向量所构成的平面中。

纯伸缩的倍数在各个方向上分别是复特征向量的模、以及实特征向量本身。

如果我们继续推广到高维空间一个线形变换可以通过上述基底的选择表示成

{(cos⁡θ1−sin⁡θ1sinθ1cos⁡θ1)0⋯001⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯(cos⁡θi−sin⁡θisinθicos⁡θi)}{r100⋯000r10⋯0000λ3⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮00⋯ri000⋯0ri}