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96SEO 2026-02-19 21:35 17
所谓方向导数的概念是作为偏导数的概念的前瞻数学概念而引入的，是矩阵微分的重要概念，其主要研究多元函数在变量空间沿任意方向的变化率。
id="1方向导数及曲线弧线导数">1.方向导数及曲线弧线导数
所谓方向导数的概念是作为偏导数的概念的前瞻数学概念而引入的，是矩阵微分的重要概念，其主要研究多元函数在变量空间沿任意方向的变化率。
inline">\(f:\mathbf{R}^n\rightarrow\mathbf{R}\)
inline">\(\mathbf{X}_0\)处可微， display">\[\frac{\part{f(\mathbf{X_0})}}{\part{\mathbf{P}}}=\lim_{t\rightarrow{0}^{+}}\frac{f(\mathbf{X}_0+t\mathbf{e})-f(\mathbf{X}_0)}{t} inline">\(f(\mathbf{X}_0)\) inline">\(\mathbf{X}_0\) inline">\(\frac{\part{f(\mathbf{X_0})}}{\part{\mathbf{P}}}\) inline">\(f:\mathbf{R}^{n}\rightarrow\mathbf{R}\) inline">\(\mathbf{X}_0\)， inline">\(\mathbf{P}\in\mathbf{R}^n\)，且 inline">\(\mathbf{P}\neq{\mathbf{0}}\)，若有存在 inline">\(\delta>0\)。 当 inline">\(t\in(0,\delta)\) inline">\(f(\mathbf{X_0}+t\mathbf{P})<f(\mathbf{X}_0)\) inline">\(\mathbf{P}\)为 inline">\(\mathbf{X}_0\) inline">\(f(\mathbf{X}_0+t\mathbf{P})>f(\mathbf{X}_0)\) inline">\(\mathbf{P}\)为 inline">\(\mathbf{X}_0\)处的上升方向。 inline">\(\frac{\part{f(\mathbf{X}_0)}}{\part{\mathbf{P}}}<0\)，则多元函数 inline">\(f(\mathbf{X})\) inline">\(\mathbf{X}_0\) inline">\(\mathbf{X}_0\) inline">\(\frac{\part{f(\mathbf{X}_0)}}{\part{\mathbf{P_0}}}>0\)，则多元函数 inline">\(f(\mathbf{X})\) inline">\(\mathbf{X}_0\) inline">\(\mathbf{X}_0\) inline">\(\frac{\part{f(\mathbf{X}_0)}}{\part{\mathbf{P}}}<0\)，则当 ,必有如下的充分小，根据上式Definition必有如下表达： display">\[\frac{f(\mathbf{X}_0+t\mathbf{e})-f(\mathbf{X}_0)}{t}<0 display">\[f(\mathbf{X})<f(\mathbf{X}_0) inline">\(\mathbf{X}=\mathbf{X}_0+t\mathbf{e}\) inline">\(\mathbf{X}_0\) inline">\(f(\mathbf{X})\) inline">\(f(\mathbf{X})\) inline">\(f(\mathbf{X})\)是上升的。 在直角坐标系中，方向导数有如下定理给出的计算公式，以空间三维函数为例。 inline">\(f=f(x,y,z)\)在点 inline">\(M_0(x_0,y_0,z_0)\)处可微， inline">\(\cos(\alpha),cos(\beta),\cos(\gamma)\) inline">\(l\)方向的方向余弦，则函数 display">\[\frac{\part{f}}{\part{l}}=\frac{\part{f}}{\part{x}}\cos(\alpha)+\frac{\part{f}}{\part{y}}\cos{(\beta)}+\frac{\part{f}}{\part{z}}\cos{(\gamma)} inline">\(\frac{\part{f}}{\part{x}},\frac{\part{f}}{\part{y}},\frac{\part{f}}{\part{z}}\) inline">\(M_0(x,y,z)\)的 inline">\(\delta-\)领域内存在动点 inline">\(M(x_0+\Delta{x},y_0+\Delta{y},z_0+\Delta{z})\) display">\[\begin{aligned}\Delta{f}&=f(\mathbf{M})-f(\mathbf{M_0}) \\&=\frac{\part{f}}{\part{x}}\Delta{x}+\frac{\part{f}}{\part{y}}\Delta{y}+\frac{\part{f}}{\part{z}}\Delta{z}+o(r)\end{aligned} inline">\(r=\sqrt{\Delta{x}^2+\Delta{y}^2+\Delta{z}^2}\)， display">\[\frac{\Delta{f}}{r}=\frac{\part{f}}{\part{x}}\frac{\Delta{x}}{r}+\frac{\part{f}}{\part{y}}\frac{\Delta{y}}{r}+\frac{\part{f}}{\part{z}}\frac{\Delta{z}}{r}+\frac{o(r)}{r} inline">\(r\rightarrow{0}\) display">\[\frac{\part{f}}{\part{l}}=\frac{\part{f}}{\part{x}}\cos{\alpha}+\frac{\part{f}}{\part{y}}\cos{\beta}+\frac{\part{f}}{\part{z}}\cos{\gamma} inline">\(s\)的起点，并以 inline">\(s\)增大的方向； inline">\(C\)之正向作一与 inline">\(s\)的全导数，既有下式成立： display">\[\frac{\part{u}}{\part{l}}=\frac{\part{u}}{\part{s}} inline">\(s\)为参数的参数方程为： display">\[x=x(s),y=y(s),z=z(s) inline">\(u\)的可微、曲线 inline">\(C\)光滑，按照复合函数求导定理，得到 display">\[\frac{du}{ds}=\frac{\part{u}}{\part{x}}\frac{dx}{ds}+\frac{\part{u}}{\part{y}}\frac{dy}{ds}+\frac{\part{u}}{\part{z}}\frac{d{z}}{ds} inline">\(\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds},\frac{dz}{ds}\) inline">\(C\)的正方向切线 inline">\(l\)的方向余弦，若将其写成 inline">\(\cos{(\alpha)},\cos{(\beta)},\cos{(\gamma)}\) display">\[\frac{du}{ds}=\frac{\part{u}}{\part{s}}\cos(\alpha)+\frac{\part{u}}{\part{s}}\cos(\beta)+\frac{\part{u}}{\part{s}}\cos{(\gamma)} display">\[\frac{\part{u}}{\part{l}}=\frac{du}{ds} inline">\(u\)沿直线的方向导数。 此外，有时还需要研究函数 inline">\(C\)(正向)的方向导数，其定义的如下： inline">\(C\)之正向取一点 inline">\(\overset{\LARGE{\frown}}{MM_1}=\Delta{s}\) inline">\(M_1\rightarrow{M}\)时，比式 display">\[\frac{\Delta{u}}{\Delta{s}}=\frac{u(M_1)-u(M)}{|\overset{\LARGE{\frown}}{MM_1}|} \]class="math
\tag{1}
在点
处沿
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时都有
，则称
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，则称
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从
出发在
附近沿
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从
出发在
附近沿
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\tag{2}
\tag{3}
出发在
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，则
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\tag{4}
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\tag{5}
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\tag{6}
\tag{7}
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\tag{8}
\tag{9}
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\tag{11}
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class="math
，即得到
\tag{12}
\tag{13}
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，若当
\tag{14}
的极限存在，则称此极限为函数 inline">\(C\)(正向)的方向导数，记作 inline">\(\frac{\part{u}}{\part{s}}\)，即： display">\[\frac{\part{u}}{\part{s}}=\frac{du}{ds} inline">\(\frac{\part{u}}{\part{s}}\)class="math
class="math
\tag{15}
，则有
display">\[\frac{\part{u}}{\part{s}}=\frac{du}{ds}
inline">\(C\)光滑，故有全导数 inline">\(\frac{du}{ds}\)存在。 而 inline">\(\frac{\part{u}}{\part{s}}\) display">\[\frac{\part{u}}{\part{s}}=\lim_{\Delta{t}\rightarrow{0}}\frac{\Delta{u}}{\Delta{s}} inline">\(\frac{du}{ds}=\lim_{\Delta{t}\rightarrow{0}}\frac{\Delta{u}}{\Delta{s}}\) inline">\(\frac{\part{u}}{\part{s}}=\frac{du}{ds}\). 推 inline">\(\mathbf{M}\)处函数 display">\[\frac{\part{u}}{\part{s}}=\frac{\part{u}}{\part{l}} inline">\(C\)(正向)的方向导数与函数 inline">\(C\)的正向一侧）的方向导数相等。 inline">\(u(\mathbf{M})\) 在给定点处沿某个方向的变化率描述问题，然而从变量空间中的定义点出发，有无穷多个方向，那么函数 inline">\(u(\mathbf{M})\) 在科学技术中常常需要讨论的问题，为了解决这个问题，那么我们从方向导数计算公式（12）出发： display">\[\frac{\part{u}}{\part{l}}=\frac{\part{u}}{\part{x}}\cos{\alpha}+ \frac{\part{u}}{\part{y}}\cos{\beta}+\frac{\part{u}}{\part{z}}\cos{\gamma} inline">\(\cos{\alpha},\cos{\beta},\cos{\gamma}\) inline">\(l\)方向的方向余弦，也就是这个方向上的单位矢量 inline">\(\boldsymbol{l}=\cos{\alpha}\boldsymbol{i}+\cos{\beta}\boldsymbol{j}+\cos{\gamma}\boldsymbol{k}\) inline">\(\boldsymbol{l}\) display">\[\frac{\part{u}}{\part{l}}=\mathbf{G}\cdot\boldsymbol{l}=|\mathbf{G}|\cos(\mathbf{G},\boldsymbol{l}) inline">\(\mathbf{G}\)在 inline">\(l\)方向上的投影正好等于函数 inline">\(u\)在该方向上的方向导数，因此，当方向 inline">\(\mathbf{G}\)的方向一致时，即 inline">\(cos(\mathbf{G},\boldsymbol{l})=1\) display">\[\frac{\part{u}}{\part{l}}=|\mathbf{G}| 变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值。 我们把 inline">\(f(\mathbf{X})\) inline">\(f(\mathbf{X})\) display">\[\nabla{f(\mathbf{X})}=\left[\frac{\part{f}}{\part{x_1}},\frac{\part{f}}{\part{x_2}},\frac{\part{f}}{\part{x_3}},...,\frac{\part{f}}{\part{x_n}}\right]^T \]class="math
class="math
\tag{17}
存在时，就有
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\tag{18}
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\tag{19}
为
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\tag{20}
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class="math
时，方向导数取得最大值，其值为：
\tag{21}
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在
\tag{22}
梯度也可以称为函数 inline">\(f(\mathbf{X})\) inline">\(f:\mathbf{R}^n\rightarrow{\mathbf{R}}\) inline">\(\mathbf{X}_0\)处可微，则方向导数与梯度关系：class="math
关于向量
在点
display">\[\frac{\part{f(\mathbf{X}_0)}}{\part{\mathbf{P}}}=\nabla{f(\mathbf{X}_0)}^T\mathbf{e}
inline">\(\nabla{f(\mathbf{X}_0)^T\mathbf{P}}<0\)，则 inline">\(P\)的方向是函数 inline">\(f(\mathbf{X})\) inline">\(\mathbf{X}_0\) inline">\(\nabla{f(\mathbf{X}_0)}^T\mathbf{P}>0\) inline">\(P\)的方向是函数 inline">\(f(\mathbf{X})\) inline">\(\mathbf{X}_0\) 方向导数的正负决定了函数值的升降，而升降的快慢就由它的绝对值大小决定。 绝对值越大，升降的速度就越快。 根据式（19）到式（22）即： display">\[\left|\frac{\part{f(X_0)}}{\part{\mathbf{P}}}\right|=|\nabla |\nabla{{f}(\mathbf{X}_0)}|\cdot|\cos(\nabla{f(\mathbf{X}_0)},\mathbf{e})|\leq \]class="math
class="math
在点
则
class="math
在点
|\nabla
上式中的等号，当且仅当 inline">\(\mathbf{e}\)的方向与 inline">\(\nabla{f(\mathbf{X_0})}\) 对于一个最优化问题，为了尽快得到最优解，在每一步迭代过程中选取的搜索方向 inline">\(-\nabla{f(\mathbf{X})}\)）的方向，这样才能使函数值下降的最快。 梯度的性质及以下几个特殊类型的函数的常用梯度公式：class="math
class="math
class="math
（1）若
inline">\(f(\mathbf{X})=c\)
inline">\(\nabla{c}=0\);
（2） inline">\(\nabla(cf(\mathbf{x}))=c\nabla(f(\mathbf{x}))\) v)=\nabla(u)\pm\nabla(v)\);（其中
(4)
inline">\(\nabla(uv)=u\nabla(v)+v\nabla(u)\)
(5)
inline">\(\nabla{\frac{u}{v}}=\frac{1}{v^2}(v\nabla{u}-u\nabla{v})\)
(6)
f(u)=f^{\prime}(u)\nabla{u}\)
（7） inline">\(\nabla(f(u,v))=\frac{\part{f}}{\part{u}}\nabla(u)+\frac{\part{f}}{\part{v}}\nabla{v}\)
(8)
inline">\(\nabla{\mathbf{b}^T\mathbf{X}}=\mathbf{b}\)
(9)
inline">\(\nabla(\mathbf{X}^T\mathbf{X})=2\mathbf{X}\)
(10)
inline">\(\nabla(\mathbf{X}^T\mathbf{Q}\mathbf{X})=2\mathbf(QX)\)
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