本文提供了一个概述#xff0c;以帮助理解在空间导航等应用程序中对四元数的需求。

推荐#xff1a;用

…四元数Quaternion是用于旋转和拉伸向量的数学运算符。

本文提供了一个概述以帮助理解在空间导航等应用程序中对四元数的需求。

推荐用

更熟悉和更容易可视化的滚动Roll、俯仰Pitch和偏航Yaw表示是有局限性的在某些情况下应该用更强大的四元数代替。

随着对象的位置和方向发生变化称为四元数的数学工具可用于旋转和缩放原始矢量。

三维空间中的物体可以定位在一个坐标系中三个数从坐标系的原点延伸到空间中的一点创建一个位置

r(x,y,z)

如果对象的位置发生变化向量将位于新的位置并且可能具有新的长度。

大多数读者可能都知道在空间中旋转的物体可以用它们沿三个轴的旋转角度来描述。

两个万向节的平面可能会对齐并且会发生称为万向节锁定gimbal

在万向节锁定中三个万向节中的两个是平行或非常接近平行的最初的三个自由度偏航、俯仰和滚动减少到两个自由度——两个旋转轴可以描述相同的旋转运动。

如果万向节锁定发生在爆炸之后宇航员的惯性测量装置将无法追踪他们在天球中的位置从而对他们本已绝望的处境产生负面影响。

Cxsin(x)

欧拉角其中一个旋转轴重复x-z-xx-y-xy-x-yy-z-yz-y-zz-x-z泰特-布赖恩角围绕所有轴x-z-y

x-y-z、y-x-z、y-z-x、z-y-x、z-x-y旋转

z-y-x

变换矩阵时万向节锁在我们的示例矩阵中在数学上变得明显其他变换矩阵在不同条件下失败。

随着角度

sin(β)→0

虽然很容易想象滚动、俯仰和偏航但如果你正在设计一个能够自由指向空间中任何方向的系统最终会遇到万向节锁定。

2、四元数

年发明了四元数作为一种允许他对向量进行乘法和除法、旋转和拉伸的方法。

如果你需要更深入的信息加利福尼亚州立大学富勒顿分校物理学和数学教授

Alfonso

汉密尔顿的发现是虽然没有明显的方法可以将两组三个数字相乘并除以得到三个数字可能代表坐标的向量但可以将两组四个数字相乘并相除并得到四个

为实数且

四元数提供旋转向量所需的信息只需四个数字而不是旋转矩阵所需的九个数字。

如果你熟悉数学和矩阵符号请跳至下面的四元数数学并跳过接下来两节中复数和矩阵数学的复习。

3、复数

复数可以想象成位于一个平面上数的实部沿水平轴表示数的虚部沿垂直轴表示。

xyi

欧拉开发了一种在复数极平面中旋转复数的方法汉密尔顿以此为基础建立了他的想法。

虽然这远非对复数主题的完整处理但它通过以下方式为四元数提供了一个垫脚石

复数可以很容易地进行加、减、乘和除而无需使用三角函数尽管复数可以用极坐标形式表示或从极坐标形式分别用

cos

与四元数类似将任意两个四元数单位相乘将导致围绕垂直于两个初始轴的轴旋转。

4、矩阵数学

由于标量和向量都存在于四元数中因此用于处理它们的数学规则是标量和向量数学的组合。

非交换四元数乘法

每个四元数都有一个相反数可以通过仅对四元数的向量部分的系数求反来找到。

四元数范数Norm

1。

如果你的四元数偏离单位球体可以将四元数的每个元素除以范数以返回单位球体。

四元数转旋转矩阵

它们能够唯一地描述围绕任意轴的任何三维旋转并且不会受到万向节锁定的影响。

原文链接四元数快速指南