#x1f33b;

有三种定义1、按行展开2、按列展开3、即不按行也不按列的展开。

∣a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann∣∑j1j2...jn(−1)N(j1j2...jn)aij1aij2...aijn\left|

\begin{array}{cccc}

\sum_{j_1j_2...j_n}(-1)^{N(j_1j_2...j_n)}a_{ij_1}a_{ij_2}...a_{ij_n}

∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​j1​j2​...jn​∑​(−1)N(j1​j2​...jn​)aij1​​aij2​​...aijn​​

1、转置

∣∣∣∣∣∣​147​258​369​∣∣∣∣∣∣​−∣∣∣∣∣∣​417​528​639​∣∣∣∣∣∣​

3、行相等

∣∣∣∣∣∣​127​228​349​∣∣∣∣∣∣​2∣∣∣∣∣∣​117​218​329​∣∣∣∣∣∣​

5、行成比例

∣1237823910889∣∣123729889∣∣1238310889∣\left|

\begin{array}{cccc}

∣∣∣∣∣∣​1788​2238​39109​∣∣∣∣∣∣​∣∣∣∣∣∣​178​228​399​∣∣∣∣∣∣​∣∣∣∣∣∣​188​238​3109​∣∣∣∣∣∣​

7、行间相加

Dai1Ai1ai2Ai2ai3Ai3...ainAinDa_{i1}A_{i1}a_{i2}A_{i2}a_{i3}A_{i3}...a_{in}A_{in}Dai1​Ai1​ai2​Ai2​ai3​Ai3​...ain​Ain​

2、异乘变零

ai1Aj1ai2Aj2ai3Aj3...ainAjn0(i̸j)a_{i1}A_{j1}a_{i2}A_{j2}a_{i3}A_{j3}...a_{in}A_{jn}0(i\notj)ai1​Aj1​ai2​Aj2​ai3​Aj3​...ain​Ajn​0(i​j)

3、拉普拉斯

同阶行列式相乘时规则同矩阵乘法。

非同阶就分别计算两个行列式的值然后相乘好了。

1、对角型

∣x1b1b2b3a1x200a20x30a300x4∣\left|

\begin{array}{cccc}

∣∣∣∣∣∣∣∣​x1​a1​a2​a3​​b1​x2​00​b2​0x3​0​b3​00x4​​∣∣∣∣∣∣∣∣​

3、范德蒙德

∣∣∣∣∣∣​1x1​x12​​1x2​x22​​1x3​x32​​∣∣∣∣∣∣​

克莱姆法则

定理“齐次线性方程组有非零解“是”系数行列式的值为零“的充分必要条件。