空间由无穷多个坐标点组成

反过来#xff0c;也可说向量空间》我通过解线性方程组的方式去理解线性空间。

此章从另一个角度去理解

空间由无穷多个坐标点组成

反过来也可说2维空间是由无穷多个2维向量构成同样的在3维空间中每个3维坐标点就是一个3维向量那么同理3维空间中有无穷多个3维向量或3维空间由无穷多个3维向量构成

\vec{e_{1}},\vec{e_{2}},...,\vec{e_{n}}

e1​

\vec{a}k_{1}·\vec{e_{1}}k_{2}·\vec{e_{2}}...k_{n}·\vec{e_{n}}

k1​⋅e1​

\vec{e_{1}},\vec{e_{2}},...,\vec{e_{n}}

e1​

[x1​y1​​][x2​y2​​][x1​x2​y1​y2​​][2341​]

数与向量乘法

这里出现了一个线性无关的概念这里线性无关的概念和向量空间中的线性无关差不多但向量的范围变广了。

n维线性空间V的基不是唯一的。

V中的任意n个线性无关向量都是V的一组基向量

\vec{a}

(\varepsilon_1,\varepsilon_2,...\varepsilon_n)

欧几里得空间

欧几里得空间是空间中的一种类型是一种特殊的集合。

欧几里得集合中的元素有序实数元组

有序是指如(2,3)和(3,2)是两个不同的元素也就是每个元素内的实数是讲顺序的实数是指每个元素内的数字都∈R元组是指每个元素有有序几个数字构成如2个数字构成2元组n个数字构成n元组

子空间

子空间是整个空间的一部分。

但它也是空间必须满足向量空间的定义。

V_1,V_2

V1​,V2​的并集并不是简单的元素相加造成“子空间的并集不属于子空间”。

直和分解就是把蛋糕切成小块的每一小块蛋糕都是一个子空间所有小蛋糕之间没有交集且它们能拼成整个蛋糕。

子空间的和就是分蛋糕的时候没切好小蛋糕拼不成整个蛋糕(子空间之间的交集非空).

内积空间

在之前的内容中我们抽象的介绍了向量矩阵以及线性空间线性变换等。

但是在几何中向量还有向量的模向量的内积运算等。

为了引入向量的模向量的内积等运算我们引入了“内积定义”。

即内积空间线性空间内积定义。

cos

\sin(\alpha)\sin(\beta)\cfrac{x_1}{\sqrt{\gdef\bar#1{#1^2}

\bar{x_1}

\cfrac{x_2}{\sqrt{\gdef\bar#1{#1^2}

\bar{x_2}

\cfrac{y_1}{\sqrt{\gdef\bar#1{#1^2}

\bar{x_1}

\cfrac{y_2}{\sqrt{\gdef\bar#1{#1^2}

\bar{x_2}

cosθcos(α−β)cos(α)cos(β)sin(α)sin(β)x12​y12​

​x1​​∗x22​y22​

\cfrac{x_1x_2y_1y_2}{\sqrt{\gdef\bar#1{#1^2}

\bar{x_1}

\bar{y_1}}\sqrt{\gdef\bar#1{#1^2}

\bar{x_2}

上述的a,b向量只是在2维坐标系中如果将坐标系转为n维度,即向量a为(x1,x2,x3…xn)向量b为(y1,y2,y3…yn)

cos

\cfrac{\sum_{i1}^n(x_i*y_i)}{\sqrt{\sum_{i1}^n\gdef\bar#1{#1^2}

\bar{x_i}}\sqrt{\sum_{i1}^n\gdef\bar#1{#1^2}

\bar{y_i}}}\cfrac{[a,b]}{\sqrt{[a,a]}\sqrt{[b,b]}}

cosθ∑i1n​xi2​

\cfrac{\beta_1}{\sqrt{[\beta_1,\beta_1]}}

[β1​,β1​]

\cfrac{[\alpha_2,\beta_1]}{\sqrt{[\alpha_2,\alpha_2]}\sqrt{[\beta_1,\beta_1]}}

[α2​,α2​]

\cfrac{[\alpha_2,\beta_1]}{[\beta_1,\beta_1]}

*\beta_1

\cfrac{[\alpha_2,\beta_1]}{[\beta_1,\beta_1]}

*\beta_1

α2​−[β1​,β1​][α2​,β1​]​∗β1​正交基组为{

\alpha_2

\cfrac{[\alpha_2,\beta_1]}{[\beta_1,\beta_1]}

*\beta_1,\cfrac{[\alpha_2,\beta_1]}{[\beta_1,\beta_1]}

*\beta_1

α2​−[β1​,β1​][α2​,β1​]​∗β1​,[β1​,β1​][α2​,β1​]​∗β1​}

正交补

dimV3,dimU2且基组为[{1,0,0},{0,1,0}]得矩阵

A\begin{bmatrix}