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aria-level="2">微积分课程

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inline">\((1+x)^{\alpha}-1\thicksim

\alpha

\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin

\frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan

\frac{x}{a}+C(a>0)\)。

\frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{a+x}{a-x}|+C(a>0)\)。

\frac{1}{x^4(x^2+1)}dx\)

\frac{1+x^2-x^2}{x^4(x^2+1)}dx=\intop

\frac{1}{x^2(x^2+1)}=-\frac{1}{3}x^3-\intop

\frac{1+x^2-x^2}{x^2(x^2+1)}dx=-\frac{1}{3}x^3-x+\tan

f[\varphi(x)]d\varphi(x)=F[\varphi(x)]+C\)。

\frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}\)

inline">\(d(\sqrt{x})=\frac{dx}{2\sqrt{x}}\)，故用

inline">\(2d(\sqrt{x})\)

inline">\(\frac{dx}{\sqrt{x}}\)

\frac{1}{1+x}d(\sqrt{x})=2\arctan

inline">\(\sqrt{a^2-x^2}\)

考虑将

inline">\(\sqrt{a^2+x^2}\)

考虑将

inline">\(\sqrt{x^2-a^2}\)

考虑将

\frac{dx}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}\)

(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)。

则化为

t+C=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+C\)。

\frac{d(x^2+1)}{x^2+1}=x\arctan

x-\frac{1}{2}\ln

\frac{xe^x}{(x+1)^2}dx\)

\frac{(x+1)e^x}{(x+1)^2}dx-\intop

\frac{e^x}{(x+1)^2}d(x+1)=\intop

\frac{e^x}{x+1}dx+\frac{e^x}{x+1}-\intop

\frac{e^x}{x+1}dx=\frac{e^x}{x+1}+C\)

x=\frac{2u}{u^2+1}\)，

class="math

x=\frac{1-u^2}{u^2+1}\)，

class="math

inline">\(dx=\frac{2}{u^2+1}du\)，可以化成有理式。

例题：

\frac{1}{\frac{2u}{u^2+1}+\frac{1-u^2}{1+u^2}}\times

\frac{2}{2-(u-1)^2}du=\frac{\sqrt{2}}{2}\ln|\frac{\sqrt{2}+\tan

inline">\(Q(x)=c_0(x-a)^k(x^2+px+q)^l,p^2-4q<0\)，可以采用如下方法。

inline">\(\frac{P(x)}{Q(x)}\)

inline">\(\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\frac{A_3}{(x-a)^3}+...+\frac{A_k}{(x-a)^k}+\frac{B_1}{x^2+px+q}+\frac{B_2}{(x^2+px+q)^2}+...+\frac{B_l}{(x^2+px+q)^l}\)，然后对于每一部分都进行积分即可。

例题：

\frac{xdx}{(x+1)(x+2)(x+3)}\)

inline">\(\frac{x}{(x+1)(x+2)(x+3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x+3}\)，待定系数可以得到

inline">\(A=-\frac{1}{2},B=2,C=-\frac{3}{2}\)。

分别进行积分可以得到

-\frac{dx}{2(x+1)}=-\frac{1}{2}\ln|2(x+1)|\)，

class="math

\frac{2dx}{x+2}=2\ln|x+2|\)，

class="math

-\frac{3dx}{2(x+3)}=-\frac{3}{2}\ln|2(x+3)|\)，从而得到原积分。