《变分法基础-第三版》老大中

\frac{1}{2!}\frac{\mathrm{d}^2f\left(

x_0

\frac{1}{n!}\frac{\mathrm{d}^nf\left(

x_0

f(x)f(x0​)dxdf(x0​)​(x−x0​)2!1​dx2d2f(x0​)​(x−x0​)2⋯n!1​dxndnf(x0​)​(x−x0​)nRn​

上式称为

f(x,y)f(x0​,y0​)(Δx∂x∂​Δy∂y∂​)f(x0​,y0​)2!1​(Δx∂x∂​Δy∂y∂​)2f(x0​,y0​)⋯k!1​(Δx∂x∂​Δy∂y∂​)kf(x0​,y0​)⋯n!1​(Δx∂x∂​Δy∂y∂​)nf(x0​,y0​)Rn​

\left(

\sum_{r0}^k{C_{\mathrm{k}}^{r}\left(

\varDelta

(Δx∂x∂​Δy∂y∂​)kf(x0​,y0​)∑r0k​Ckr​(Δx)r(Δy)k−r∂xr∂yk−r∂kf(x0​,y0​)​

R_n\frac{1}{\left(

Rn​(n1)!1​(Δx∂x∂​Δy∂y∂​)n1f(x0​θΔx,y0​θΔy),θ∈(0,1)称为

f\left(

∣Rn​∣⩽(n1)!M​(∣Δx∣∣Δy∣)n1(n1)!Mρn1​(∣cosα∣∣sinα∣)n1⩽2Mρn1

R_n

x_{\mathrm{k}}\frac{\partial}{\partial

\varDelta

x_{\mathrm{m}}\frac{\partial}{\partial

x_{\mathrm{m}}}

x_{\mathrm{k}}\frac{\partial}{\partial

\varDelta

x_{\mathrm{m}}\frac{\partial}{\partial

x_{\mathrm{m}}}

x_{\mathrm{k}}\frac{\partial}{\partial

\varDelta

x_{\mathrm{m}}\frac{\partial}{\partial

x_{\mathrm{m}}}

f(x1​,x2​,⋯xm​)f(x10​,x20​,⋯xm0​)1!1​(Δx1​∂x1​∂​Δx2​∂x2​∂​⋯Δxk​∂xk​∂​⋯Δxm​∂xm​∂​)f(x10​,x20​,⋯xm0​)2!1​(Δx1​∂x1​∂​Δx2​∂x2​∂​⋯Δxk​∂xk​∂​⋯Δxm​∂xm​∂​)2f(x10​,x20​,⋯xm0​)⋯n!1​(Δx1​∂x1​∂​Δx2​∂x2​∂​⋯Δxk​∂xk​∂​⋯Δxm​∂xm​∂​)nf(x10​,x20​,⋯xm0​)Rn​

\varDelta

x_{\mathrm{k}}x_{\mathrm{k}}-x_{\mathrm{k}}^{0}\left(

k1,2,\cdots

x_{\mathrm{k}}\frac{\partial}{\partial

\varDelta

x_{\mathrm{m}}\frac{\partial}{\partial

x_{\mathrm{m}}}

Rn​(n1)!1​(Δx1​∂x1​∂​Δx2​∂x2​∂​⋯Δxk​∂xk​∂​⋯Δxm​∂xm​∂​)n1f(x10​θΔx1​,x20​θΔx2​,⋯xm0​θΔxm​)

f\left(

x_{\mathrm{k}}\frac{\partial}{\partial

x_{\mathrm{k}}}}

f(x1​,x2​,⋯xm​)f(x10​,x20​,⋯xm0​)∑i0n​i!1​(∑k11m​Δxk​∂xk​∂​)if(x10​,x20​,⋯xm0​)Rn​

\rho

∂xk​∂f(x10​,x20​,⋯xm0​)​0,k1,2,⋯,m

1.2

∫ab​f(x,y)dx称为含参变量积分——讨论含参变量积分的连续性、可导性、可积性

1.2.1

\right)}dx\int_a^b{\underset{y\rightarrow

y_0}{\lim}f\left(

y→y0​lim​∫ab​f(x,y)dx∫ab​y→y0​lim​f(x,y)dx

证明待补充

\int_c^d{\mathrm{d}y}\int_a^b{f\left(

x,y

\right)}dx\int_a^b{\mathrm{d}x}\int_a^b{f\left(

x,y

∫cd​dy∫ab​f(x,y)dx∫ab​dx∫ab​f(x,y)dy

证明待补充

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\int_a^b{f\left(

x,y

\right)}\mathrm{d}x\int_a^b{\frac{\partial

f\left(

dyd​∫ab​f(x,y)dx∫ab​∂y∂f(x,y)​dx

证明待补充

\right)}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\int_{\alpha

\left(

dydφ(y)​dyd​∫α(y)β(y)​f(x,y)dx∫α(y)β(y)​∂y∂f(x,y)​dxf(β(y),y)dydβ(y)​−f(α(y),y)dydα(y)​

\left[

Δφ(y)φ(yΔy)−φ(y)∫α(y)Δαβ(y)Δβ​f(x,yΔy)dx−∫α(y)β(y)​f(x,y)dx∫α(y)β(y)​f(x,yΔy)dx∫β(y)β(y)Δβ​f(x,yΔy)dx−∫α(y)α(y)Δα​f(x,yΔy)dx−∫α(y)β(y)​f(x,y)dx∫α(y)β(y)​[f(x,yΔy)−f(x,y)]dx∫β(y)β(y)Δβ​f(x,yΔy)dx−∫α(y)α(y)Δα​f(x,yΔy)dx

进而推导出中值定理

ΔyΔφ(y)​∫α(y)β(y)​Δy[f(x,yΔy)−f(x,y)]​dxf(βˉ​(y),yΔy)ΔyΔβ(y)​−f(αˉ(y),yΔy)ΔyΔα(y)​

lim

Δy→0lim​f(βˉ​(y),yΔy)ΔyΔβ(y)​f(β(y),y)dydβ(y)​Δy→0lim​f(αˉ(y),yΔy)ΔyΔα(y)​f(α(y),y)dydα(y)​

lim

Δy→0lim​∫α(y)β(y)​Δy[f(x,yΔy)−f(x,y)]​dx∫α(y)β(y)​∂y∂f(x,y)​dx

因此求得

\right)}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\int_{\alpha

\left(

dydφ(y)​dyd​∫α(y)β(y)​f(x,y)dx∫α(y)β(y)​∂y∂f(x,y)​dxf(β(y),y)dydβ(y)​−f(α(y),y)dydα(y)​

1.3

场是现实世界中的物理量与空间和时间关系的一种表现形式它是物质存在的一种形态。

如果在空间中某个区域内的每一点都对应着某物理量的一个确定的值则在此空间区域内称为存在着该物理量的场。

某物理量在场内的分布可表示为空间位置的函数这样的函数称为该物理量的点函数。

当然物理量在场内还可能随时间变化而变化因而点函数还可以与时间有关。

如果一个物理量具有数量的性质那么这个物理量所形成的场就称为数量场或标量场。

如果一个物理量具有向量的性质那么这个物理量所形成的场就称为向量场或矢量场。

如果一个物理量具有张量的性质那么这个物理量所形成的场就称为张量场。

在物理量的场中取值为数量的函数称为数量函数或标量函数取值为向量的函数称为向量函数或矢量函数取值为张量的函数称为张量函数。

点函数、数量函数、向量函数和张量函数都可简称函数。

1.3.1

具有大小和方向的量称为向量或矢量。

向量大小的数值称为向量的长度或向量的模。

向量

\vec{a}

∣来表示。

模等于1的向量称为单位向量或单位矢(量)。

模等于零的向量称为零向量或零矢量记作

\vec{0}

沿其他方向的变化率也是有实际意义的因此有必要研究它在其他方向的导数。

M_0

L}\lim_{\overline{M_0M}\rightarrow

\frac{\varphi

∂L∂φ(M0​)​M0​M​→0lim​M0​M​φ(M)−φ(M0​)​

\varphi

M0​可取无穷多个方向每个方向都有与之对应的方向导数。

在直角坐标系中可按下面定理给出的公式计算方向导数。

定理:

∂L∂φ​∂x∂φ​cosα∂y∂φ​cosβ∂z∂φ​cosγ

\frac{\partial

grad是英文gradient的缩写意为梯度记号▽形如古希伯莱的一种乐器纳布拉(nabla),称为哈密顿算子、纳布拉算子或

\nabla

\vec{i}\frac{\partial}{\partial

x}\vec{j}\frac{\partial}{\partial

y}\vec{k}\frac{\partial}{\partial

x}\vec{i}\frac{\partial}{\partial

y}\vec{j}\frac{\partial}{\partial

z}\vec{k}

\vec{e}_1\frac{\partial}{\partial

x_1}\vec{e}_2\frac{\partial}{\partial

x_2}\vec{e}_3\frac{\partial}{\partial

x_3}

\vec{e}_1\vec{i},\vec{e}_2\vec{j},\vec{e}_3\vec{k},x_1x,x_2y,x_3z

1​i

3​称为沿着直角坐标(系)的单位基向量或单位基矢量简称单位向量或单位矢量。

\nabla

∇既是一个微分算子又可以看作一个向量具有向量和微分的双重性质故它称为向量微分算子或矢量微分算子。

于是梯度可表示为

\mathrm{grad}\varphi

∇c0∇(φ±ψ)∇φ±∇ψ∇(cφ)c∇φ∇(φψ)ψ∇φφ∇ψ∇(ψφ​)ψ2ψ∇φ−φ∇ψ​∇f(φ)f′(φ)∇φ∇f(r)f′(r)∇rf′(r)rr

​f′(r)r

C对应的每个值都表示一个曲面。

在每个曲面上的各点虽然坐标值不同但函数值却相等这些曲面称为函数

\varphi

表示法线方向。

法线方向上的单位向量称为单位法线向量或单位法向量通常用

\vec{n}

来表示单位法向量。

因为任意一个向量都可以表示为该向量的模乘以与该向量方向相同的单位向量所以,函数

\varphi

\right|}\frac{\mathrm{grad}\varphi}{\left|

\mathrm{grad}\varphi

\vec{k}l\vec{i}m\vec{j}n\vec{k}\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3

n_x\vec{i}n_{\mathrm{y}}\vec{j}n_{\mathrm{z}}\vec{k}n_x\vec{e}_1n_{\mathrm{y}},\vec{e}_2n_{\mathrm{z}}\vec{e}_3

cos(N

ln1​nx​cosα、mn2​ny​cosβ、nn3​nz​cosγ分别为单位法向量

\vec{n}

\vec{n}\frac{\mathrm{grad}\varphi

\cdot

∣gradφ∣gradφ⋅gradφ​∣∇φ∣∇φ⋅∇φ​∣gradφ∣∇φ

\varphi

∂x∂φ​nx​∂y∂φ​ny​∂z∂φ​nz​∣∇φ∣(∂x∂φ​)2(∂y∂φ​)2(∂z∂φ​)2

\mathrm{grad}\varphi

z}n_{\mathrm{x}}\frac{\partial}{\partial

x}n_{\mathrm{y}}\frac{\partial}{\partial

y}n_{\mathrm{z}}\frac{\partial}{\partial

∂​n

⋅∇l∂x∂​m∂y∂​n∂z∂​nx​∂x∂​ny​∂y∂​nz​∂z∂​

\vec{N}}

把数量场中每一点的梯度与该数量场中的各点对应起来就得到一个向量场这个向量场称为由该数量场产生的梯度场。

设有向量场

有势场是一个梯度场它有无穷多个势函数这些势函数之间只差一个常数。