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96SEO 2026-02-20 06:47 8
建立动态规划的模型#xff0c;就是分析问题并建立问题的动态规划基本方程。
成功地应用动态规划方法的关键#x…通过前一期的学习我们已经学会了动态规划的基本概念和基本原理。
本期小编带大家学习动态规划模型的建立与求解。
成功地应用动态规划方法的关键在于识别问题的多阶段特征将问题分解成为可用递推关系式联系起来的若干子问题而正确建立基本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量保证各阶段的状态变量具有递推的状态转移关系
接下来小编将以资源分配问题为例介绍动态规划的建模条件及解法详见例1。
资源分配问题是动态规划的典型应用之一资源可以是资金、原材料、设备、劳力等资源分配就是将一定数量的一种或几种资源恰当地分配给若干使用者以获取最大效益。
例1某公司有资金10万元若投资于项目的投资额为时其收益分别为问应如何分配投资数额才能使总收益最大?
为了应用动态规划方法求解可以人为地赋予它“时段”的概念。
将投资项目排序依次对项目1、2、3投资即把问题划分为3个阶段每个阶段只决定对一个项目应投资的金额从而转化为一个3段决策过程。
通常可以把决策变量定为原静态问题中的变量
状态变量和决策变量有密切关系状态变量一般为累计量或随递推过程变化的量。
针对本例可以把每阶段可供使用的资金定为状态变量初始状态。
为可分配用于第一种项目的最大资金则当第一阶段k1时有
1.分析题意识别问题的多阶段特性按时间或空间的先后顺序适当地划分为满足递推关系的若干阶段对非时序的静态问题要人为地赋予“时段”概念。
2能够确切地描述过程的演变且满足无后效性。
即由第阶段的状态出发的后部子过程可以看作是一个以为初始状态的独立过程。
3.根据状态变量与决策变量的含义正确写出状态转移方程或转移规则。
动态规划的求解有两种基本方法逆序解法后向动态规划方法、顺序解法前向动态规划方法。
上一期的例题求解实际使用的就是逆序解法即寻优的方向与多阶段决策过程的实际行进方向相反从最后一段开始计算逐段前推求得全过程的最优策略。
与之相反顺序解法的寻优方向与过程的行进方向相同计算时从第一段开始逐段向后递推计算后一阶段要用到前一阶段的求优结果最后一段计算的结果就是全过程的最优结果。
例2给定一个线路网格图图1要从A地向F地铺设一条输油管道各点间连线上的数字表示距离问应该选择什么路线可使总距离最短
由于此问题的始点A与终点F都是固定的计算由A点到F点的最短路线与由F点到A点的最短路线没有什么不同。
若设表示从起点A到第k阶段状态的最短距离我们就可以由前向后逐步求出起点A到各阶段起点的最短距离最后求出A点到F点的最短距离及路径。
计算步骤如下
全部计算情况如图2所示。
图中每节点上方括号内的数表示该点到A点的最短距离粗黑线表示该点到A点的路径。
顺序解法与逆序解法本质上并无区别一般来说当初始状态给定时可用逆序解法当终止状态给定时可用顺序解法。
若问题给定了一个初始状态与一个终止状态则两种方法均可使用如例2。
但若初始状态虽已给定终点状态有多个需比较到达不同终点状态的各个路径及最优指标函数值以选取总效益最佳的终点状态时使用顺序解法比较简便。
总之针对问题的不同特点灵活地选用这两种方法之一可以使求解过程简化。
逆序解法中我们定义最优指标函数表示第k段从状态出发到终点后部分子过程最优效益值
特别指出的是这里有关顺序解法的表达式是在原状态变量符号不变条件下得出的若将状态变量记法改为
动态规划模型建立后对基本方程分段求解不像线性规划或非线性规划那样有固定的解法必须根据具体问题的特点结合数学技巧灵活求解大体有以下几种方法。
动态规划模型中的状态变量与决策变量若被限定只能取离散值则可采用分段穷举法。
如例2的求解方法就是分段穷举算法由于每段的状态变量和决策变量离散取值个数较少所以动态规划的穷举法要比一般的穷举法有效。
用分段穷举法求最优指标函数值时最重要的是正确确定每段状态变量取值范围和允许决策集合的范围。
当动态规划模型中状态变量与决策变量为连续变量就要根据方程的具体情况灵活选取求解方法如经典解析方法、线性规划方法、非线性规划法或其他数值计算方法等。
如在例1中状态变量与决策变量均可取连续值而不是离散值所以每阶段求优时不能用穷举方法处理。
下面分别用逆序解法和顺序解法来求解例1。
阶段划分和决策变量的设置同逆序解法令状态变量表示可用于第1到第k个项目投资的金额则有状态转移方程为
表示第k段投资额为时第1到第k项目所获的最大收益此时顺序解法的基本方程为
所以最优投资方案与逆序解法结果相同只投资于项目3最大收益为200万元。
比较两种解法的过程可以发现对本题而言顺序解法比逆序解法简单。
接下来小编还是利用投资分配问题先介绍连续变量离散化的概念如投资分配问题的一般静态模型为
会比较困难因而求全过程的最优策略也就相当不容易这时常常采用把连续变量离散化的办法求解其数值解具体做法如下
将区间[0,10]分割0,2,4,6,8,10成六个点即状态变量集合为{0,2,4,6,8,10}。
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