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96SEO 2026-02-23 13:09 11
\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}
A(a11a21a12a22a13a23)(142536)
\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}6\\8\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}6\\8\end{pmatrix}
rank(A)1列向量中第2列2×第1列第3列3×第1列所有列可由第1列表示故线性无关的列数1秩1。
\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}
一组线性无关的向量能通过线性组合表示空间中所有向量且数量最少。
例子二维平面中
\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}
3×\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}
(12)(123)(1×12×11×22×21×32×3)(122436)A
mn1000,r10原100万元素→分解后2万元素压缩50倍。
类比基矩阵
矩阵分解基矩阵×系数矩阵原矩阵低秩分解的本质是通过基矩阵和系数矩阵的线性组合以最小的存储和计算代价近似表示复杂矩阵
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├──────────────────────────────────────┤
└──────────────────────────────────────┘↓有序排列
┌──────────────────────────────────────┐
└──────────────────────────────────────┘↓抽象为向量
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└──────────────────────────────────────┘↓二维扩展
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