（最终化简为3进展开：

class="math

inline">\(\mathbb{Q}_p\)是特征为0的完备非阿基米德局部域；

inline">\(\mathbb{Z}_p\)是

class="math

inline">\(\mathbb{Q}_p\)的赋值环（所有

class="math

1\)的元素），是整环，也是主理想整环（唯一非平凡理想为

class="math

inline">\(p\mathbb{Z}_p\)）；

inline">\(\mathbb{Z}_p\)的单位群（可逆元）是

class="math

inline">\(\mathbb{Q}_p\)的任意有限扩张都是局部域，记为

class="math

inline">\(K/\mathbb{Q}_p\)，其赋值环记为

class="math

inline">\(\mathcal{O}_K\)。

inline">\(\mathbb{Q}_p\)上的度量由p进绝对值诱导：

class="math

inline">\(\mathbb{Q}_p\)是完备度量空间，且具有以下反直觉性质：

p进空间中的开球

class="math

\}\)和闭球

class="math

\bar{B}_{p^{-(k+1)}}(a)\)）。

inline">\(\mathbb{Q}_3\)中，开球

class="math

inline">\(\mathbb{Z}_p\)的紧性

inline">\(\mathbb{Z}_p\)是紧豪斯多夫空间（Heine-Borel定理在p进空间的体现），而

class="math

inline">\(\mathbb{Q}_p\)非紧——这与实数域中

class="math

inline">\([0,1]\)紧、

class="math

inline">\(\mathbb{R}\)非紧类似，但

class="math

inline">\(\mathbb{Z}_p\)是“无穷大”的紧集（包含无穷多元素），这是p进数的核心拓扑特征。

id="性质3离散性与稠密性">性质3：离散性与稠密性

inline">\(\mathbb{Z}\)在

class="math

inline">\(\mathbb{Z}_p\)中稠密（任意p进整数可由整数序列逼近）；

inline">\(\mathbb{Q}\)在

class="math

inline">\(\mathbb{Q}_p\)中稠密（任意p进数可由有理数序列逼近）。

p进数并非纯理论工具，其独特的代数/拓扑性质使其在多个领域有重要应用：

id="1局部-整体原理hasse-minkowski定理">（1）局部-整体原理（Hasse-Minkowski定理）

该定理是数论的基石：一个二次型在

class="math

inline">\(\mathbb{Q}\)上表示0当且仅当它在

class="math

inline">\(\mathbb{R}\)上和所有

class="math

inline">\(\mathbb{Q}_p\)上表示0。

“局部”指每个

inline">\(\mathbb{Q}_p\)（及

class="math

inline">\(\mathbb{R}\)）上的性质，“整体”指

class="math

inline">\(\mathbb{Q}\)上的性质——p进数将“整体问题”分解为“局部问题”，大幅降低数论问题的复杂度。

id="2费马大定理的证明">（2）费马大定理的证明

怀尔斯（Wiles）证明费马大定理时，核心工具之一是p进模形式（p-adic

modular

forms）：通过将模形式“提升”到p进数域，建立椭圆曲线与模形式的对应关系（谷山-志村猜想），最终完成证明。

p进数可用于判断丢番图方程是否有解：若方程在某个

class="math

inline">\(\mathbb{Q}_p\)上无解，则在

class="math

inline">\(\mathbb{Q}\)上必无解（局部-整体原理的逆用）。

class="math

inline">\(\mathbb{Q}_3\)中，

class="math

inline">\(\mathbb{Q}_3\)上无解，故在

class="math

inline">\(\mathbb{Q}\)上无解。

p进数的紧性、不可预测性使其适用于构造安全的加密方案：

inline">\(\mathbb{Z}_p\)的紧性可用于生成伪随机数（比传统随机数更难预测）；

p进编码（p-adic

codes）具有强纠错能力，适用于无线通信、卫星通信等场景；

基于p进数的公钥加密算法可抵抗量子计算攻击（后量子密码学的研究方向之一）。

将实数分析的概念（极限、导数、积分）推广到p进数域，形成p进分析：

id="2量子物理与弦理论">（2）量子物理与弦理论

p进数可用于描述量子系统的“非局域性”：某些量子现象（如黑洞熵、量子引力）无法用实数域描述，而p进数的拓扑性质可更好地拟合物理模型。

id="习题1计算以下p进绝对值">习题1：计算以下p进绝对值

(1)

inline">\(|-8/9|_3\)；(5)

inline">\(|5/6|_2\)。

(1)

inline">\(v_2(42)=1\)，

class="math

inline">\(v_3(42)=1\)，

class="math

inline">\(v_7(42)=1\)，

class="math

inline">\(v_3(-8/9)=-2\)，

class="math

inline">\(v_2(5/6)=-1\)，

class="math

id="习题2将3进数转化为有理数">习题2：将3进数

class="math

id="习题3写出在5进数中的展开式">习题3：写出

class="math

inline">\(\frac{1}{2}\)在5进数中的展开式

需找到数码

inline">\(a_0=3\)（因为

class="math

(-\frac{1}{2})\)，同理

class="math

inline">\(\mathbb{Z}_p\)是整环

inline">\(\mathbb{Z}_p\)是交换幺环：

class="math

inline">\(\mathbb{Q}_p\)是域（交换、有幺元、每个非零元可逆），故

class="math

inline">\(\mathbb{Z}_p\)继承交换性、幺元（1），且对加减乘封闭；

无零因子：若

inline">\(\alpha\beta=0\)，则

class="math

inline">\(|\alpha|_p=0\)或

class="math

inline">\(|\beta|_p=0\)，即

class="math

inline">\(\alpha=0\)或

class="math

inline">\(\beta=0\)。

inline">\(\mathbb{Z}_p\)是整环。

id="习题2证明p进空间中任意两个球要么不相交要么一个包含另一个">习题2：证明p进空间中，任意两个球要么不相交，要么一个包含另一个

设

inline">\(\mathbb{Q}_p\)中的两个开球，不妨设

class="math

B_1\)，由超度量不等式：

class="math

id="习题3证明p进绝对值满足超度量不等式">习题3：证明p进绝对值满足超度量不等式

class="math

\mathbb{Q}\)证明（完备化后可推广到

class="math

inline">\(\mathbb{Q}_p\)）。

设

\frac{c_2}{d_2}\)，不妨设

class="math

\frac{c_2}{d_2}\)，则

class="math

p进绝对值是有理数域上的非阿基米德绝对值，其大小反映元素被素数

class="math

inline">\(p\)整除的次数；

p进数域

inline">\(\mathbb{Q}_p\)是

class="math

inline">\(\mathbb{Q}\)在p进绝对值下的完备化，元素可表示为无穷p进制展开式；

inline">\(\mathbb{Z}_p\)是

class="math

inline">\(\mathbb{Q}_p\)的赋值环，具有紧性、无零因子等核心性质；

局部-整体原理是p进数在数论中的核心应用，可将整体问题分解为局部问题求解。

论文：怀尔斯关于费马大定理的证明（需先掌握模形式与p进分析）；

课程：MIT/牛津大学的代数数论公开课（含p进数专题）。