若有…

本文仅供学习使用总结很多本现有讲述运动学或动力学书籍后的总结从矢量的角度进行分析方法比较传统但更易理解并且现有的看似抽象方法两者本质上并无不同。

若有帮助请引用

建议把每个图自己都画一遍理解每个符号表达的含义以及为什么这么表达尤其是如何定义角度、向量

机构运动学与动力学分析与建模

曲线坐标系:Frenet标架详见微分几何-曲线论内容1.2.5

广义坐标系

而对于不同的坐标系而言表示同一状态参数存在对应关系因此坐标系之间也存在着

\left\{

笛卡尔坐标系是我们在三维空间中常用的表示空间运动的坐标系基于观测位置与对象的不同还有GPS坐标系

1.2

P而言其位置Position表述该系统空间的一种状态参数因此其在各基矢量上的标量分量即为对应的坐标参数。

因此该点

\vec{R}_{\mathrm{P}}^{X}\vec{P}P_1\hat{X}_1P_2\hat{X}_2P_3\hat{X}_3

PX​P

{F:(X^1​,X^2​,X^3​)}{F:(I^,J^,K^)}

对于状态空间中一点

\vec{R}_{\mathrm{P}}^{F}P_1\hat{I}P_2\hat{J}P_3\hat{K}\left[

\begin{array}{c}

\vec{V}_{\mathrm{P}}^{F}\dot{\vec{R}}_{\mathrm{P}}^{F}\frac{\mathrm{d}\vec{R}_{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{dt}}\left[

\begin{array}{c}

\vec{a}_{\mathrm{P}}^{F}\dot{\vec{V}}_{\mathrm{P}}^{F}\ddot{\vec{R}}_{\mathrm{P}}^{F}\frac{\mathrm{d}\vec{V}_{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{dt}}\left[

\begin{array}{c}

\hat{X}_{\mathrm{r}},\hat{X}_{\mathrm{\***ta}},\hat{K}

\right)

{F:(X^1​,X^2​,X^3​)}{F:(X^r​,X^θ​,K^)}

在状态空间中并没有发生变化而由于基矢量的变化导致其投影参数发生改变。

在柱坐标系中点

表述为

\vec{R}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}\vec{P}P_1\mathrm{}\hat{X}_{\mathrm{r}}P_2\mathrm{}\hat{X}_{\***ta}P_3\mathrm{}\hat{K}

PC​P

X^θ​方向上的角度参数而单纯的角度参数在实际的矢量运算过程中是比较难于理解的因此对柱坐标系而言实际上是将该方向上的已知投影参数转换到直角坐标系下进行表示

若已知柱坐标系下点

\vec{R}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{F}}\vec{P}r\cos

\***ta

\vec{V}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}

PC​进行求解

\vec{V}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{F}}\dot{\vec{R}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{F}}\frac{\mathrm{d}\vec{R}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{F}}}{\mathrm{dt}}\left[

\begin{array}{c}

\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{dt}}\cos

\***ta

-r\frac{\mathrm{d}\***ta}{\mathrm{dt}}\sin

\***ta\\

\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{dt}}\sin

\***ta

r\frac{\mathrm{d}\***ta}{\mathrm{dt}}\cos

\***ta\\

\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{dt}}\\

\end{array}

​dtdr​cosθ−rdtdθ​sinθdtdr​sinθrdtdθ​cosθdtdk​​

\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{dt}}0

dtdr​0

\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{dt}}0

dtdk​0

\vec{V}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{F}}

\right|_{\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{dt}}0,\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{dt}}0}\left[

\begin{array}{c}

-r\frac{\mathrm{d}\***ta}{\mathrm{dt}}\sin

\***ta\\

r\frac{\mathrm{d}\***ta}{\mathrm{dt}}\cos

\***ta\\

\vec{a}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{F}}

\right|_{\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{dt}}0,\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{dt}}0}

PF​

\vec{a}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{F}}

\right|_{\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{dt}}0,\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{dt}}0}r\ddot{\***ta}\left[

\begin{array}{c}

\vec{\alpha}^{\mathrm{F}}\times

\vec{R}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{F}}\vec{\omega}^{\mathrm{F}}\times

\vec{V}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{F}}

PF​

\vec{R}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}r\left(

\***ta

[X^r​X^θ​​][cosθ−sinθ​sinθcosθ​][I^J^​]

sin

\dot{\hat{X}}_{\mathrm{\***ta}}\\

\end{array}

[X^˙r​X^˙θ​​][−θ˙sinθ−θ˙cosθ​θ˙cosθ−θ˙sinθ​][I^J^​][0−θ˙​θ˙0​][X^r​X^θ​​]

\hat{X}_{\mathrm{r}}

\dot{\hat{X}}_{\mathrm{r}}\dot{\***ta}\hat{X}_{\***ta},\hat{X}_{\***ta}-\dot{\***ta}\dot{\hat{X}}_{\mathrm{r}}

\hat{X}_{\***ta}

虽然在三维系统中正常应该具有三个基矢量而在上式中只有两个基矢量但其投影参数与矢径上的基矢量为另一个参数

\***ta

\vec{V}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}\dot{\vec{R}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}\dot{r}\hat{X}_{\mathrm{r}}r\dot{\hat{X}}_{\mathrm{r}}\dot{k}\hat{K}\dot{r}\hat{X}_{\mathrm{r}}r\dot{\***ta}\hat{X}_{\mathrm{\***ta}}\dot{k}\hat{K}\\

\vec{a}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}\dot{\vec{V}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}\ddot{r}\hat{X}_{\mathrm{r}}\dot{r}\dot{\hat{X}}_{\mathrm{r}}\dot{r}\dot{\***ta}\hat{X}_{\mathrm{\***ta}}r\ddot{\***ta}\hat{X}_{\mathrm{\***ta}}r\dot{\***ta}\dot{\hat{X}}_{\mathrm{\***ta}}\ddot{k}\hat{K}\ddot{r}\hat{X}_{\mathrm{r}}\dot{r}\dot{\***ta}\hat{X}_{\mathrm{\***ta}}\dot{r}\dot{\***ta}\hat{X}_{\mathrm{\***ta}}r\ddot{\***ta}\hat{X}_{\mathrm{\***ta}}-r\dot{\***ta}^2\hat{X}_{\mathrm{r}}\ddot{k}\hat{K}\\

\end{array}

˙PC​r˙X^r​rX^˙r​k˙K^r˙X^r​rθ˙X^θ​k˙K^a

PC​V

˙PC​r¨X^r​r˙X^˙r​r˙θ˙X^θ​rθ¨X^θ​rθ˙X^˙θ​k¨K^r¨X^r​r˙θ˙X^θ​r˙θ˙X^θ​rθ¨X^θ​−rθ˙2X^r​k¨K^​

\left\{

\vec{V}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}\dot{r}\hat{X}_{\mathrm{r}}r\dot{\***ta}\hat{X}_{\***ta}\dot{k}\hat{K}\\

\vec{a}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}\left(

\right)

2\dot{r}\dot{\***ta}r\ddot{\***ta}

\right)

\hat{X}_{\***ta}\ddot{k}\hat{K}\\

\end{array}

PC​(r¨−rθ˙2)X^r​(2r˙θ˙rθ¨)X^θ​k¨K^​

r\ddot{\***ta}

\hat{X}_{\mathrm{r}},\hat{X}_{\mathrm{\***ta}},\hat{X}_{\mathrm{\phi}}

\right)

{F:(X^1​,X^2​,X^3​)}{F:(X^r​,X^θ​,X^ϕ​)}

P\left(

​r˙sinϕcosθrϕ˙​cosϕcosθ−rθ˙sinϕsinθr˙sinϕsinθrϕ˙​cosϕsinθrθ˙sinϕcosθr˙cosϕ−rϕ˙​sinϕ​

sin

\ddot{r}-r\dot{\phi}^2-r\dot{\***ta}^2

\right)

2\dot{r}\dot{\***ta}r\ddot{\***ta}

\right)

\ddot{r}-r\dot{\phi}^2-r\dot{\***ta}^2

\right)

2\dot{r}\dot{\***ta}r\ddot{\***ta}

\right)

​(r¨−rϕ˙​2−rθ˙2)sinϕcosθ(2r˙ϕ˙​rϕ¨​)cosϕcosθ−(2r˙θ˙rθ¨)sinϕsinθ−(2rθ˙ϕ˙​)cosϕsinθ(r¨−rϕ˙​2−rθ˙2)sinϕsinθ(2r˙ϕ˙​rϕ¨​)cosϕsinθ(2r˙θ˙rθ¨)sinϕcosθ(2rθ˙ϕ˙​)cosϕcosθ(r¨−rϕ˙​2)cosϕ−(2r˙ϕ˙​rϕ¨​)sinϕ​

\vec{R}_{\mathrm{p}}^{s}r\hat{X}_{\mathrm{r}}

ps​rX^r​

​cosϕcosθ−sinθsinϕcosθ​cosϕsinθcosθsinϕsinθ​−sinϕ0cosϕ​

​I^J^K^​

\dot{\hat{X}}_{\mathrm{\phi}}\\

\dot{\hat{X}}_{\mathrm{\***ta}}\\

\end{array}

​−ϕ˙​sinϕcosθ−θ˙cosϕsinθ−θ˙cosθϕ˙​cosϕcosθ−θ˙sinϕsinθ​−ϕ˙​sinϕsinθθ˙cosϕcosθ−θ˙sinθϕ˙​cosϕsinθθ˙sinϕcosθ​−ϕ˙​cosϕ0−ϕ˙​sinϕ​

​I^J^K^​

​0−θ˙cosϕϕ˙​​θ˙cosϕ0θ˙sinϕ​−ϕ˙​−θ˙sinϕ0​

​X^ϕ​X^θ​X^r​​

\vec{V}_{\mathrm{P}}^{S}\dot{\vec{R}}_{\mathrm{P}}^{S}\dot{r}\hat{X}_{\mathrm{r}}r\dot{\hat{X}}_{\mathrm{r}}\dot{r}\hat{X}_{\mathrm{r}}r\dot{\phi}\hat{X}_{\mathrm{\phi}}r\dot{\***ta}\sin

\phi

˙PS​r˙X^r​rX^˙r​r˙X^r​rϕ˙​X^ϕ​rθ˙sinϕX^θ​

sin

\vec{V}_{\mathrm{P}}^{S}\vec{\omega}^S\times

\vec{R}_{\mathrm{P}}^{S}\Rightarrow

\phi

\hat{X}_{\mathrm{\phi}}-\dot{\***ta}\cos

\phi

\hat{X}_{\mathrm{r}}\dot{\phi}\hat{X}_{\mathrm{\***ta}}

PS​ω

\vec{a}_{\mathrm{P}}^{S}\dot{\vec{V}}_{\mathrm{P}}^{S}\begin{cases}

\ddot{r}\hat{X}_{\mathrm{r}}\dot{r}\dot{\hat{X}}_{\mathrm{r}}\dot{r}\dot{\phi}\hat{X}_{\mathrm{\phi}}r\ddot{\phi}\hat{X}_{\mathrm{\phi}}r\phi

\dot{\hat{X}}_{\mathrm{\phi}}\\

\phi

\hat{X}_{\mathrm{\***ta}}r\ddot{\***ta}\sin

\phi

\hat{X}_{\mathrm{\***ta}}r\dot{\***ta}\dot{\phi}\cos

\phi

\hat{X}_{\mathrm{\***ta}}r\dot{\***ta}\sin

\phi

\dot{\hat{X}}_{\mathrm{\***ta}}\\

\end{cases}

\ddot{r}\hat{X}_{\mathrm{r}}\dot{r}\left(

\dot{\phi}\hat{X}_{\mathrm{\phi}}\dot{\***ta}\sin

\phi

\hat{X}_{\mathrm{\***ta}}-\dot{\phi}\hat{X}_{\mathrm{r}}

\right)\\

\hat{X}_{\mathrm{\***ta}}r\dot{\***ta}\sin

\phi

\hat{X}_{\mathrm{\phi}}-\dot{\***ta}\sin

\phi

2\dot{r}\dot{\phi}r\ddot{\phi}-r\dot{\***ta}^2\sin

\phi

2\dot{r}\dot{\***ta}r\ddot{\***ta}

\right)

˙PS​{r¨X^r​r˙X^˙r​r˙ϕ˙​X^ϕ​rϕ¨​X^ϕ​rϕX^˙ϕ​r˙θ˙sinϕX^θ​rθ¨sinϕX^θ​rθ˙ϕ˙​cosϕX^θ​rθ˙sinϕX^˙θ​​⎩

⎧​r¨X^r​r˙(ϕ˙​X^ϕ​θ˙sinϕX^θ​)(r˙ϕ˙​rϕ¨​)X^ϕ​rϕ(θ˙cosϕX^θ​−ϕ˙​X^r​)(r˙θ˙sinϕrθ¨sinϕrθ˙ϕ˙​cosϕ)X^θ​rθ˙sinϕ(−θ˙cosϕX^ϕ​−θ˙sinϕX^r​)​(r¨−rϕϕ˙​−rθ˙2sinϕ2)X^r​(2r˙ϕ˙​rϕ¨​−rθ˙2sinϕcosϕ)X^ϕ​[(2r˙θ˙rθ¨)sinϕ(rθ˙ϕ˙​rϕθ˙)cosϕ]X^θ​​

1.2.4

\dot{\vec{\alpha}}\frac{\dot{s}}{\rho}\vec{\beta}

˙ρs˙​β

\vec{V}_{\mathrm{P}}^{F}\dot{\vec{R}}_{\mathrm{P}}^{F}\dot{s}\vec{\alpha}\\

\vec{a}_{\mathrm{P}}^{F}\dot{\vec{V}}_{\mathrm{P}}^{F}\ddot{s}\vec{\alpha}\dot{s}\dot{\vec{\alpha}}\ddot{s}\vec{\alpha}\frac{\dot{s}^2}{\rho}\vec{\beta}\\

\end{array}

_{\mathrm{\alpha}}\vec{\alpha}\omega

_{\mathrm{\gamma}}\vec{\mathrm{\gamma}}

ωα​α

_{\mathrm{\gamma}}\vec{\beta}\frac{\dot{s}}{\rho}\vec{\beta},\dot{\vec{\beta}}-\omega

_{\mathrm{\alpha}}\vec{\beta}\dot{s}\frac{\mathrm{d}\vec{\mathrm{\gamma}}}{\mathrm{d}s},\omega

_{\beta}0

{F:(I^,J^,K^)}下进行表示也可以在运动坐标系的标架下

\left\{

\hat{X}_{\mathrm{r}},\hat{X}_{\mathrm{\***ta}},\hat{K}

\right)

\hat{X}_{\mathrm{\phi}},\hat{X}_{\mathrm{\***ta}},\hat{X}_{\mathrm{r}}

\right)

{S:(X^ϕ​,X^θ​,X^r​)}球坐标系进行表示甚至在轨迹的Frenet标架下表示。

根据所给的运动参数可以求得不同标架所对应不同运动的投影参数。

1.2.5

\hat{X}_{\mathrm{\phi}},\hat{X}_{\mathrm{\***ta}},\hat{X}_{\mathrm{r}}

\right)

(X^ϕ​,X^θ​,X^r​))在表达运动时可能更为方便。

认为广义坐标generalized

coordinates是用来描述系统形位的相互独立广义坐标矢量的投影参数坐标即在该广义坐标系下描述任意矢量则有

\dot{\vec{r}}_{\mathrm{p}}^{e}\left(

\dot{q}_1\vec{e}_1\dot{q}_2\vec{e}_2\cdots

\dot{q}_{\mathrm{n}}\vec{e}_{\mathrm{n}}

\right)

Q_1\dot{\vec{e}}_1q_2\dot{\vec{e}}_2\cdots

q_{\mathrm{n}}\dot{\vec{e}}_{\mathrm{n}}

\right)

\dot{q}_1\vec{e}_1\dot{q}_2\vec{e}_2\cdots

\dot{q}_{\mathrm{n}}\vec{e}_{\mathrm{n}}

\right)

\dot{\vec{R}}_{\mathrm{P}}^{E}\left(

\dot{q}_1\omega

\vec{R}_{\mathrm{O}^{\mathrm{M}}\mathrm{P}}^{M}\rightarrow

\vec{R}_{\mathrm{O}^{\mathrm{M}}\mathrm{P}}^{F}

OMPM​→R

\vec{R}_{\mathrm{P}}^{M}{P_1}^M\hat{i}^M{P_2}^M\hat{j}^M{P_3}^M\hat{k}^M\left[

\begin{array}{c}

[QMF​]可以理解为笛卡尔坐标系中球坐标系/柱坐标系的基矢量转换为直角坐标系的矢量该矩阵同时也与向量的旋转有关。

该矩阵的表达与含义十分重要。

——请找到上述内容中符合

\left[