一、填空

sr2这将使得显示系统产生比希望的效果更暗的图像此时伽马校正通常在信号进入显示器前被进行预处理令p与q表示伽马校正的输入与输出则p与q之间的映射关系式表示为:

qp^{\frac{1}{2}}

qp21​卷积是一种图像处理领域最有影响力的计算之一对于一幅输入图像f(x,y)

我们可以通过卷积运算产生一幅新的图像g(x,y)若g(x,y)0.1f(x1,y)0.2f(x-1y)0.3f(x,y)0.2f(x,y-1)0.2f(x,y1)这里x表示行标y表示图像中像素位置的列坐标请用一个3X3的矩阵来表示这个卷积核我们处理一幅图像可以在空域中通过线性滤波运算进行处理也可以在频域内对它进行处理达到同样的效果。

该事实的理论基础就是基于傅立叶变换的卷积定理若我们用f(x,y)g(x,y)表示图像与线性滤波核它们对应的傅立叶变换分别用F(u,v)G(u,v)表示则该定理可形式化描述为f(x,y)∗g(x,y)⟷F(u,v)×G(u,v)2023秋拉普拉斯波器的频域表示的函数形式为

H(u,v)-4\pi

H(u,v)−4π2(u2v2)假设我们有一个在0-1区间的均匀分布随机数发生器w若已知一个满足瑞利分布的随机变量累加分布函数CDF是

1-\frac{exp(-(z-a)^{2}}{b}),z\ge

a\\

Fz​(z){1−bexp(−(z−a)2​),z≥a0,za​则基于w的瑞利分布的随机数发生器z的方程为

za\sqrt{-bln(1-w)}

H(u,v)e^{-\frac{D^{2}(u,v)}{2D_{0}^{2}}}

H(u,v)e−2D02​D2(u,v)​则对应的高斯高通滤波器在频域中的表示为

H_{h}(u,v)1-e^{-\frac{D^{2}(u,v)}{2D_{0}^{2}}}

Hh​(u,v)1−e−2D02​D2(u,v)​Weiner

F(u,v)[\frac{1}{H(u,v)}·\frac{|H(u,v)|^{2}}{|H(u,v)|^{2}\frac{S_{\eta

F(u,v)[H(u,v)1​⋅∣H(u,v)∣2Sf​(x,y)Sη​(x,y)​∣H(u,v)∣2​]G(u,v))其中

S_{\eta

Sη​(x,y)代表噪声功率谱密度H(u,v)代表退化函数2023秋YCbCr中的Y代表明度Cb与Cr代表蓝色与红色的浓度偏移HSV中的H代表色调s代表饱和度2023秋

二、选择

采用对比度拉伸是实现灰度图像的增强的一种重要思路而分段线性变换函数是一种常被采用的技术。

针对某一段输入灰度范围若你想扩大输出灰度的动态范围所构造的那一段线性映射函数的斜率k应满足:A2023秋

A.k1

若一幅图像中存在椒盐噪声下面哪种滤波器可选择来去除它们:(D)

A.算术均值滤波器

通过卷积运算对图像进行各种目的的滤波是图像处理的重要内容。

对于离散的两个一维信号[3,5,6],g[1,-1]对应的卷积结果是(A)2023秋

A.[3,2,1,-6]

H(u,v)e^{-\frac{D^{2}(u,v)}{2D_{0}^{2}}}

D_{0}

对于一个具有正交性质的完美重建滤波器组若它的滤波器之间具有如下的关系B

g_{1}(n)(-1)^{n}g_{0}(2K-1-n)h_{1}(n)g_{1}(2K-1-n),i0,1

g1​(n)(−1)ng0​(2K−1−n)h1​(n)g1​(2K−1−n),i0,1

(−1)nh0​(2K−1−n)

信息论是信息压缩的理论基础而互信息是信息论中一个非常重要的概念信源z与信道输出v之间互信息I(z,v)的意义为©

三、判断

对一幅数字图像进行一次直方图均衡处理后通常不会产生非常绝对平的直方图。

即便我们对处理后的图像再进行一次直方图处理理论上也不会产生任何效果。

√拉普拉斯滤波器与统计排序滤波器均不是一种卷积运算。

×卷积运算具有交换性与结合性。

√低通高阶巴特沃斯滤波器存在振铃效应而低通高斯滤波器不存在振铃效应。

√我们可以用阶数Q0的逆谐波均值滤波器来去除盐噪声。

√给定一幅图像若我们能准确估计噪声的均值与方差则可以知道噪声的能量(所有像素位置的噪声强度的平方和)。

√在图像编码中涉及信源编码与信道编码两者都是为了实现信息的压缩表示。

×对于一个事件它发生的概率越小它的熵越大。

×2023秋若一幅图像中含有一些噪声点或干扰性微小结构可采用形态处理中的开操作作为一种处理段来去除它。

√

四、简答

System简称LSI系统是一种特殊的系统它对输入图像的处理满足线性和移不变性两个条件。

线性系统对输入图像的处理是线性的即如果输入图像是两个图像的线性组合那么输出图像也是这两个图像经过系统处理后的输出的相同线性组合。

数学上表示为如果

f_{1}(x,y)

f2​(x,y)是两个输入图像α和β是任意常数那么系统的输出满足

S(αf_{1}βf_{2})αS(f_{1})βS(f_{2})

S(αf1​βf2​)αS(f1​)βS(f2​)移不变性系统对输入图像的处理是移不变的即如果输入图像在空间域内平移那么输出图像也会相应地平移而不会改变其它特性。

数学上表示为如果f(x,y)是输入图像

(x_{0}y_{0})

H[f(x,y)]g(x,y)H[f(x-x_{0},y-y_{0})]g(x-x_{0},y-y_{0})

H[f(x,y)]g(x,y)H[f(x−x0​,y−y0​)]g(x−x0​,y−y0​)

线性移不变性系统的一个重要特性是它们可以通过卷积运算来描述。

对于任何LSI系统都存在一个称为系统冲激响应的函数

h(x,y)

(用数学方法解释为什么会产生右图的效果)。

DIP旋转了180度

假设原图像为

F(u,v)\frac{1}{MN}\sum_{u0}^{M-1}\sum_{v0}^{N-1}{(-1)^{xy}f(x,y)e^{-j2\pi\left(\frac{ux}{M}\frac{uy}{N}\right)}}

F(u,v)MN1​∑u0M−1​∑v0N−1​(−1)xyf(x,y)e−j2π(Mux​Nuy​)通过c操作根据傅里叶变换性值

F^\ast

(u,v)\frac{1}{MN}\sum_{u0}^{M-1}\sum_{v0}^{N-1}{(-1)^{xy}f(x,y)e^{j2\pi\left(\frac{ux}{M}\frac{uy}{N}\right)}}

F∗(u,v)MN1​∑u0M−1​∑v0N−1​(−1)xyf(x,y)ej2π(Mux​Nuy​)通过d操作得傅里叶反变换变为

IDFT(F^\ast

(u,v))\frac{1}{MN}\sum_{u0}^{M-1}\sum_{v0}^{N-1}[\frac{1}{MN}\sum_{u0}^{M-1}\sum_{v0}^{N-1}{(-1)^{xy}f(x,y)e^{j2\pi\left(\frac{ux}{M}\frac{uy}{N}\right)}}]e^{j2\pi\left(\frac{ux}{M}\frac{uy}{N}\right)}

IDFT(F∗(u,v))MN1​∑u0M−1​∑v0N−1​[MN1​∑u0M−1​∑v0N−1​(−1)xyf(x,y)ej2π(Mux​Nuy​)]ej2π(Mux​Nuy​)实部为

(-1)^{xy}f(-x,-y)

(-1)^{xy}(-1)^{xy}f(-x,-y)f(-x,-y)

效果原图像旋转180°

对当前层的图像进行高斯滤波然后进行下采样即去除一些行和列以生成下一层的图像。

下采样可以使用像素平均值或其他插值技术。

下采样的目的是减小图像的尺寸。

重复步骤2

重复进行高斯滤波和下采样直到达到金字塔的顶层。

每一层的图像尺寸都比前一层的尺寸小。

拉普拉斯金字塔建立

拉普拉斯金字塔的每一层都是由对应的高斯金字塔层与该层的上一层进行差分得到的。

即拉普拉斯金字塔的每一层是由高斯金字塔的对应层减去该层的上一层。

对于每一层i拉普拉斯金字塔的图像

L_{i}

层expaned是上采样操作。

这样我们得到的拉普拉斯金字塔的第一层是高斯金字塔的最顶层最后一层是高斯金字塔的最底层

每一个小波的尺度函数都遵循Mallat提出的多分辨率分析的4个基本要求请描述这4个基本要求的内容2023秋

哈尔函数被称为是紧支撑的意味着除了称为支撑域有限区间外函数值都为0

必须注意当尺度函数的支撑域大于1时整数平移函数间的正交性将变得更加难于被满足低尺度尺度函数张成的子空间包含于高尺度尺度函数张成的子空间内

V_{-∞}

V−∞​⊂...⊂V−1​⊂V−0​⊂V1​⊂...⊂V∞​唯一包含在

V_{j}

\mathscr{F}[f(x-x_{0},y-y_{0})]F(u,v)e^{-j2\pi

(\frac{ux_{0}}{M}\frac{vy_{0}}{N})}

F[f(x−x0​,y−y0​)]F(u,v)e−j2π(Mux0​​Nvy0​​)时域频移性

(\frac{ux_{0}}{M}\frac{vy_{0}}{N})}]F(u-u_{0},v-v_{0})

F[f(x,y)e−j2π(Mux0​​Nvy0​​)]F(u−u0​,v−v0​)

\mathscr{F}[f(x,y)(-1)^{xy}]F(u-\frac{M}{2},v-\frac{N}{2})

F[f(x,y)(−1)xy]F(u−2M​,v−2N​)平均和对称

F(0,0)\frac{1}{MN}\sum_{u0}^{M-1}\sum_{v0}^{N-1}{f(x,y)}

F(0,0)MN1​∑u0M−1​∑v0N−1​f(x,y)共轭

F(u,v)F∗(−u,−v)对称

F(u,v)\mathscr{F}f(x,y)\sum_{y}[\sum_{x}{f(x,y)e^{-j2\pi

\frac{yv}{N}}\sum_{y}F(u,y)e^{-j2\pi

\frac{yv}{N}}

F(u,v)Ff(x,y)∑y​[∑x​f(x,y)e−j2πMxu​]e−j2πNyv​∑y​F(u,y)e−j2πNyv​旋转性

xrcosθ

f(r,θθ0​)⇔F(ω,φθ0​)周期性f(x,y)f(xM,y)f(x,yN)f(xM,yN)

\mathscr{F}

F(af(x,y)bg(x,y))aF(f(x,y))bF(g(x,y))微分性

请用集合的语言描述形态学中的腐蚀与膨胀并用进一步用数学公式定义开运算与闭运算。

腐蚀Erosion:

开运算首先对图像进行腐蚀然后再进行膨胀。

这通常用于消除小的对象或噪声。

数学表述为

闭运算首先对图像进行膨胀然后再进行腐蚀。

这通常用于填充小的孔洞或连接不连续的对象。

数学表述为

0.02]求直方图均衡后的灰度级和对应概率并画出均衡后归一化直方图的示意图。

变换证明

Z变换是一种信号分析的重要工具。

它有许多重要的性质请对如下性质进行证明:

(-1)^{n}x(n)

X(z1​)(3)若x(n)的Z变换为X(z),则下x(2n)的Z变换为

\frac{1}{2}[X(z^\frac{1}{2})X(-z^\frac{1}{2})]

21​[X(z21​)X(−z21​)]

X(Z)\sum_{-\infty}^{\infty}{x(n)z^{-n}}

X(Z)∑−∞∞​x(n)z−n

\sum_{-\infty}^{\infty}{\left(-1\right)^{n}x\left(n\right)z^{-n}}\sum_{-\infty}^{\infty}{\left(-1\right)^{-n}x\left(n\right)z^{-n}}\sum_{-\infty}^{\infty}{x\left(n\right)\left(-z\right)^{-n}}X\left(-z\right)

∑−∞∞​(−1)nx(n)z−n∑−∞∞​(−1)−nx(n)z−n∑−∞∞​x(n)(−z)−nX(−z)

\sum_{-\infty}^{\infty}{x\left(-n\right)z^{-(-n)}}\sum_{-\infty}^{\infty}{x\left(-n\right)\left(z^{-1}\right)^{-n}}X\left(z^{-1}\right)X\left(\frac{1}{Z}\right)

∑−∞∞​x(−n)z−(−n)∑−∞∞​x(−n)(z−1)−nX(z−1)X(Z1​)

\sum_{-\infty}^{\infty}{x\left(2n\right)z^{-n}}

∑−∞∞​x(2n)z−n

\sum_{-\infty}^{\infty}{x\left(2n\right)z^{-n}}\sum_{-\infty}^{\infty}{x\left(k\right)z^{-\frac{k}{2}}}

X(z^{\frac{1}{2}})\sum_{-\infty}^{\infty}{x\left(k\right)z^{-\frac{k}{2}}}

X(z^{-\frac{1}{2}})\sum_{-\infty}^{\infty}{x\left(k\right)(-1)^{k}z^{-\frac{k}{2}}}

\frac{1}{2}[X(z^\frac{1}{2})X(-z^\frac{1}{2})]\\

\sum_{-\infty}^{\infty}{x\left(k\right)z^{-\frac{k}{2}}}\sum_{-\infty}^{\infty}{x\left(k\right)(-1)^{k}z^{-\frac{k}{2}}}\\\sum_{-\infty}^{\infty}{x\left(2n\right)z^{-n}}

21​[X(z21​)X(−z21​)]∑−∞∞​x(k)z−2k​∑−∞∞​x(k)(−1)kz−2k​∑−∞∞​x(2n)z−n

拉普拉斯旋转不变性证明

形式化描述什么是拉普拉斯算子并证明拉普拉斯算子具有旋转不变性质

4.推导出随机数生成方程

若我们有一个标准正态分布的随机数发生器N(01)请推导出对数正态分布的随机数生成方程。

(1)

w∈[0,1],用它生成具有指数分布的随机数z则其分布具有形式

F(z)1-e^{-az}z\ge

w∈[0,1],用它生成具有正态分布的随机数z则其分布具有形式

F(z)\int_{0}^{z}\frac{1}{\sqrt{2\pi

b}}

e^{-\frac{[ln(v)-a]^{2}}{2b^{2}}}dv

e−2b2[ln(v)−a]2​dv

(1)现在假设我们有一个长度为8的信号f[1,-3,3,1,2,0,-2,1]利用快速哈尔小波变换进行三层的分解计算各层的滤波器输出。

(2)若利用哈尔小波对某个信号进行三层的分解的滤波器输出

W[W_{\varphi

W[Wφ​(1,0),Wφ​(1,0),Wφ​(2,0),Wφ​(2,1),Wφ​(3,0),Wφ​(3,1),Wφ​(3,2),Wφ​(3,3)][1,1,−1,−1,1,0,1,0]请计算重建原来的信号。

解根据概率将1划分成10份a占0.2即[0,0.2)e占0.3即[0.2,0.5)以此类推得下面表格

符号概率范围a0.2[0.0,0.2)e0.3[0.2,0.5)i0.1[0.5,0.6)o0.2[0.6,0.8)u0.1[0.8,0.9)!0.1[0.9,1.0)

0.2

符号概率范围a0.2[0.2,0.26)e0.3[0.26,0.35)i0.1[0.35,0.38)o0.2[0.38,0.44)u0.1[0.44,0.47)!0.1[0.47,0.5)

0.2

符号概率范围a0.2[0.2,0.212)e0.3[0.212,0.23)i0.1[0.23,0.236)o0.2[0.236,0.248)u0.1[0.248,0.254)!0.1[0.254,0.26)

0.23