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原文：
towardsdatascience.com/probability-distributions-poisson-vs-binomial-distribution-ff8a6ddeb4a1
https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/82c1be93a66922e11bdb8de0a55e6907.png
由Fancy
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泊松和二项分布是数据科学和统计学中使用的两种基本离散概率分布。
虽然两者都涉及计数发生或成功的情况，但它们在基本假设和应用场景上有所不同。
如果你像我一样，你可能会偶尔质疑是否应该使用泊松分布或二项分布来分析问题——尤其是如果你最近没有使用过它们。
为了澄清这一点，让我们来看看每种分布的特点、何时使用它们以及如何区分两者。
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目录
泊松分布
二项分布
泊松与二项分布：有何区别？
TL;DR
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泊松分布：足球示例
在深入技术细节之前，让我给你一个与泊松分布相关的、易于理解的例子。
如果你是足球迷，这会让你产生共鸣。
如果不是……很抱歉。
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由Abigail
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足球比赛中的黄牌（泊松分布）
泊松分布特别适合于模拟事件发生随机、独立且罕见的情况。
足球比赛中发出的黄牌数量就是一个很好的例子。
模拟足球比赛中发出的黄牌数量：
事件：对一名球员出示黄牌。
许多机会：一场足球比赛有
分钟的比赛时间。
每一分钟（或比赛序列）代表一个独立的犯规或违规机会，可能导致黄牌。
独立性：一名球员在第
分钟收到黄牌不会影响另一名球员在第
分钟收到黄牌的可能性。
这些决定基于个人犯规。
罕见事件：黄牌并不是每分钟都会发放（除非是
2012
年的西班牙国家德比，那时塞尔吉奥·拉莫斯和佩佩都在场上）。
在整个比赛中，它们相对较少。
固定区间：90
分钟的比赛定义了一个固定的时间段。
应用泊松分布：
如果每场比赛平均黄牌数（λ）为
张黄牌的概率。
既然我们已经早早地给出了例子，那么让我们深入探讨一下技术细节！（这不会太无聊）
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泊松分布（深入探讨）
泊松分布模拟在固定的时间、空间或其他维度内发生事件的次数，其中单个事件的概率非常小，但机会的数量很大。
https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/55449765d5e4d547b6b34477d0affd9d.png
来源：
泊松分布（CC
BY）
泊松分布的条件
事件独立发生：一名球员在
分钟内收到黄牌不会影响另一名球员在
分钟内收到黄牌的可能性。
这些决定基于个人犯规。
事件发生率的恒定性：每个区间内事件发生的平均数量在整个试验过程中保持不变。
两个或更多事件不能同时发生：在非常短的时间间隔内，假设最多只能发生一个事件。
事件发生的机会：泊松假设事件发生的机会可能是无限的（或非常大）。
比较足球比赛
事件独立发生：一名球员在
分钟内收到黄牌不会影响另一名球员在
分钟内收到黄牌的可能性。
这些决定基于个人犯规。
事件发生率的恒定性：假设平均每场比赛发出
分钟或后
分钟都是恒定的。
两个或更多事件不能同时发生：如果一个球员收到黄牌，另一个球员就不能在字面上完全相同的时间收到黄牌。
如果有多名球员参与重大犯规，裁判将先出示一张黄牌，然后继续出示另一张。
事件发生的机会：整个比赛为球员收到黄牌提供了许多独立的机会（每分钟或每个比赛序列）。
看看它们是如何对齐的！从非纯数学的角度思考这些分布要容易得多！
泊松分布的关键特征
对于泊松分布，这些都是你需要真正思考的关键特征（我非常小心地说）：
参数：λ（每个区间的平均事件数）
期望：E[X]
=
λ
方差：Var[X]
=
λ
泊松分布的概率质量函数：
https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/330a67b308f95fbc155a2cd0728be1ee.png
k：事件数
λ：事件平均速率
问题：均值和方差为什么相等？
泊松分布具有一个独特的性质，即均值和方差都等于λ。
这是由于分布是从事件的独立性和恒定速率假设中推导出来的。
仅从解释中很难真正看出这些为什么会相等，所以请再忍耐一下。
这将是我唯一一次展示一大堆方程来解释为什么泊松分布中的均值和方差相等！
期望值的计算：E(X)
记住，随机变量的均值就是它的期望值。
对于离散随机变量，期望值表示为：
https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/1e51ada7d092e6da184705e57afa6e31.png
离散随机变量的期望值
对于泊松分布，我们可以使用概率质量函数（pmf）来得到：
https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/bb6847f86d3b5fb336e779310af217e3.png
泊松分布的期望值方程
通过这一点，我们可以进行一些阶乘替换，泰勒级数展开，得到
E[X]
λ：
https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/e6913f51b3cab55ec88bb9203d3779c8.png
计算泊松分布的期望值
方差的计算：Var(X)
记住，对于离散随机变量，方差表示为：
https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/8adab1f9f4ba7d8d059ef9cdaf17453c.png
离散随机变量的方差
要计算
E[X²]，我们知道：
https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/55859937eb4c78dd4b054cd193a935fb.png
泊松分布的方差方程
我们可以使用与期望相同的技巧来计算
E[X²]
λ：
https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/b0e475dd72b50b7cd9841d0591a244d2.png
好吧！现在你可以看到为什么泊松分布中的期望和方差是相等的。
呼……我保证，现在不会再有更多的长数学方程（差不多）！
回到我们的例子
既然我们现在知道了概率质量函数、期望和方差……我们该如何解决我们的原始问题陈述：如果每场比赛平均黄牌数（λ）为
2，计算一场比赛中恰好出现
张黄牌的概率。
我总是先将其重写为泊松符号：
https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/0d6cc1f769b2fbba30cd517215233646.png
在我们的情况下，X
Pois(2)分布
然后我们可以使用我们的概率质量函数方程来解决一场比赛中恰好出现
张黄牌的概率。
https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/7f251dd6b6e6e880c00053300da56e36.png
这约等于
~18.04%
所以……现在我们知道了！如果每场比赛平均黄牌数为
2，那么恰好得到
18.04%！
https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/00f05afd6864565a13884a28bfd3cca2.png
X
Pois(2)
importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltfromscipy.statsimportpoisson#Poisson
game
lambda_value=2#Average
game
k=3#Number
Pois.
poisson_prob=poisson.pmf(k,lambda_value)#Visualizing
Distribution
x_poisson=np.arange(0,10)#Values
occur)
y_poisson=poisson.pmf(x_poisson,lambda_value)'''Result0.18044704431548358'''
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二项式分布：足球示例
现在我们切换到另一个场景——足球比赛中的点球大战。
https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/d670c002ea1007b656e93758baf6489f.png
图片由Jannes
Glas在Unsplash提供
点球大战中的成功点球（二项式）
二项式分布非常适合模拟点球大战中成功的点球次数，尤其是在总点球次数固定的情况下。
假设你和朋友们踢足球，你想模拟如果你踢
次点球，会有多少次点球转化为进球。
为什么这符合二项式分布：
二项式分布由两个参数定义：
固定试验次数（n）：在这种情况下，n=10（总点球次数）。
单次试验中成功的概率恒定（p）。
成功的概率（p）对每次点球都是相同的。
（你可能有一些疑问，比如如果球员累了，或者在一个寒冷、下雨的夜晚在斯托克城比赛。
你是正确的，这些条件可能会违反这一点）
独立性：一次点球（进球或失误）的结果不会影响下一次点球的结果。
每次试验只有两种可能的结果：每次点球的结果要么是进球（成功），要么是没有进球（失败）。
应用二项式分布：
如果成功的概率是
0.5，你可以使用二项式公式来计算一场比赛中射入
/>
如果你已经阅读了我的这篇文章，我会很感激如果你能给我一些点赞！
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二项式分布（深入）
正如你可能从点球示例中注意到的，二项式分布用于模拟在固定数量的独立伯努利试验中的成功次数。
每个试验必须满足以下基本条件：
固定试验次数（n）。
成功的概率（p）是恒定的。
独立性：一次试验的结果不能影响任何其他试验的结果。
每个试验都是独立的。
两种可能的结果：成功或失败（1
0）。
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来源：
二项式分布
关键特征：
参数：n（试验次数），p（成功概率）。
期望值：E[X]
=
p
方差：Var[X]
=
p)
二项式的概率质量函数：
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k
=
试验次数
https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/dfa8a8bcc15cda4979b46ebc2922b38b.png
二项式系数
因此，您可以说当您在固定次数的试验中计数成功时，使用二项分布。
如果条件被违反怎么办？
然而，如果条件被违反，二项分布可能不适用。
例如，如果我们更广泛地考虑点球例子
如果
在试验之间发生变化（例如，玩家感到疲劳或压力，降低其成功率）。
如果试验不是独立的（例如，错过一次射门会打击球员的士气，降低他们下一次得分的可能性）。
如果试验次数（n）不是固定的或定义良好的。
（例如，锦标赛比赛中的点球大战可能会持续
10、20、30…次射门）
然而，如果您在家里和朋友进行固定次数的射门，这些条件可能并未违反。
如果您仍然对二项分布的工作原理感到好奇，请查看我的网站并尝试调整参数！
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X
Binom(10,
penaltiesn=10#
Number
kicksp=0.5#
Probability
kickk_binom=7#
Number
Binom.binom_prob=binom.pmf(k_binom,n,p)#
Visualizing
Distributionx_binom=np.arange(0,n+1)#
Values
successes)y_binom=binom.pmf(x_binom,n,p)'''Result
0.11718749999999999''' 泊松分布与二项分布：有何区别？ 如您所见，当试验次数固定时，我们使用二项分布。 在确定使用哪种分布时，这是一个非常重要的区别。 然而，存在一个边缘情况（当试验次数非常多且成功概率非常小的时候）。/>
4.
5.
使用泊松分布近似二项分布
在特定条件下，泊松分布可以近似二项分布：
n（试验次数）非常大。
p（成功概率）非常小。
乘积
n⋅p=λ（均值）保持不变。
为什么这些条件？
泊松分布用于模拟罕见事件，因此一个小的p确保每个单独的成功不太可能。
当n很大时，这些罕见事件发生的机会很多。
这种设置类似于泊松过程。
想象在我们的足球例子中
假设两支球队需要因为某种原因踢
100
次点球。
但是场地被雪覆盖，所以很难踢球。
因此，每次射门得分的概率大约为
2%（p
0.02）。
令人惊讶的是，泊松分布很好地近似了这个二项分布。
在这种情况下，二项分布可以用
=
/>
TL;DR
要确定是否使用泊松或二项分布，请问自己：
是否有固定的试验次数？
是
泊松分布。
成功的概率在多次试验中很小吗？
- 是
考虑泊松分布作为近似。
通过理解这些区别，您在选择任何遇到的问题的正确分布时将感到自信。
祝您阅读愉快！
P.S.
讨论概率分布是我目前正在进行的系列文章！如果您感兴趣，请查看我的其他文章！
概率分布：比较指数分布和泊松分布
概率分布：均匀分布和正态分布
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孙亨炫
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