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96SEO 2026-02-19 19:59 0
\]
看起来挺简洁，对吧？
但当你翻开教材，发现这背后藏着一堆正交矩阵、奇异值、特征向量……瞬间头大。
我每次看到
SVD，都忍不住想：这玩意儿到底是怎么被“想出来”的？
是某个数学家喝多了咖啡，突然梦见上帝说：“听着，所有矩阵都能拆成三步走……”
的“发明”过程——从一个最朴素的问题出发：一个矩阵，到底对向量做了什么？
id="一矩阵左乘--沿坐标轴的伸缩从最简单例子开始">一、矩阵左乘
\end{bmatrix}\)，左乘后得到：
\]
这意味着：输入向量在标准基方向
对输入空间的各个方向进行伸缩（可能还混合）。
而对角矩阵之所以“干净”，是因为它恰好以标准基为伸缩方向，没有混合。
但现实中的矩阵通常不是对角的。
那么问题来了：非对角矩阵是否也能找到自己的“伸缩方向”？
id="二evd方阵的主伸缩方向与秩的含义">二、EVD：方阵的“主伸缩方向”与秩的含义
考虑一个对称方阵：
\]
我们寻找那些被
inline">\(\mathbf{v}\)，即满足：
\]
这就是特征方程，其中
inline">\(A\)，解得两组解：
\]
这就是特征值分解（EVD）。
它告诉我们：任何可对角化的方阵，本质上只是在一组特定正交方向上做独立伸缩。
满秩矩阵：比如
2。
它能对任意方向的输入产生非零输出——换句话说，它可以“操控”整个
低秩矩阵：比如
上输出恒为零。
无论你输入什么，结果永远落在一条直线上。
W\)）则表明：模型真正需要调整的，往往只是少数几个“敏感方向”。
Adaptation）有效的核心原因：我们不需要改动整个高**重矩阵，只需在低维子空间中微调，就能高效适配新任务。
但
有一个致命限制：它只适用于方阵。
一旦矩阵是“长方形”的，比如
于是，我们必须回答一个更一般的问题：非方阵如何描述其“伸缩行为”？
id="三svd为非方阵找到跨空间的主方向">三、SVD：为非方阵找到“跨空间的主方向”
面对
m}\)，我们放弃“输入输出方向相同”的执念，转而问：
inline">\(\mathbf{v}_i\)，只激发第
inline">\(\mathbf{u}_i\)，放大
\]
后面我们可以知道 inline">\(V\)是正交矩阵，所以上式两边都右乘 inline">\(V^T\)，就可以得到常见的 display">\[MVV^T=MVV^{-1}=M=U\Sigma inline">\(\sigma_i\)呢？ 我们以最强方向，即 inline">\(\sigma_1\)为最大值的情况为例。 假设存在单位向量 inline">\(\mathbf{v}_1\) inline">\(\mathbf{u}_1\)，使得：class="math
class="math
SVD
V^T
\]
由于范数非负，等价于最大化其平方：
\]
瑞利商的极值性质表明(原理推导见本节末尾）：
display">\[\max_{\|\mathbf{v}\|
display">\[\max_{\substack{\|\mathbf{v}\|
inline">\(\lambda_k\)，而且是在 inline">\(v=q_k\)时可以得到。class="math
inline">\(\sigma_i=\sqrt{\lambda_i},
瑞利商性质：对实对称矩阵
inline">\(A\)，定义其瑞利商为
\]
瑞利商的极值性质表明：
display">\[\max_{\|\mathbf{c}\|
display">\[\max_{\substack{\|\mathbf{c}\|
\operatorname{rank}(M)\)。
由于
inline">\(\operatorname{rank}(M)
\]
至此就可算出对应的 inline">\(\sigma_i,v_i,u_i\)。 我们会发现求得的 inline">\(u_i\)也是基坐标，彼此正交：class="math
inline">\(\mathbb{R}^n\)
inline">\(v_i\)一一对应的，但是当
inline">\(u_i\)该如何计算呢？
我们会发现存在
inline">\(\mathcal{U}_\perp\)
\mathbf{u}_n\}\)，则最终的左奇异矩阵为
并非凭空定义的数学魔术，而是为了解决“非方阵如何描述伸缩”这一朴素问题，从对角矩阵
它只是在说——先转一下，再拉伸，再转一下。
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