本章将介绍视觉SLAM的基本问题之一如何描述刚体在三维空间中的运动

旋转向量

SO(3)的旋转矩阵有9个量但一次旋转只有3个自由度。

因此这种表达方式是冗余的。

同理变换矩阵用16个量表达了6自由度的变换。

旋转矩阵自身带有约束它必须是个正交矩阵且行列式为

1。

变换矩阵也是如此。

当想要估计或优化一个旋转矩阵/变换矩阵时这些约束会使得求解变得更困难。

因此我们希望有一种方式能够紧凑地描述旋转和平移。

例如用一个三维向量表达旋转用六维向量表达变换。

事实上任意旋转都可以用一个旋转轴和一个旋转角来刻画。

于是我们可以使用一个向量其方向与旋转轴一致而长度等于旋转角。

这种向量称为旋转向量或轴角/角轴Axis-Angle只需一个三维向量即可描述旋转。

同样对于变换矩阵我们使用一个旋转向量和一个平移向量即可表达一次变换。

这时的变量维数正好是六维。

考虑某个用R表示的旋转。

如果用旋转向量来描述假设旋转轴为一个单位长度的向量n角度为

θ那么向量

从旋转向量到旋转矩阵的转换过程由罗德里格斯公式Rodrigues’s

Formula

符号∧是向量到反对称矩阵的转换符。

反之我们也可以计算从一个旋转矩阵到旋转向量的转换。

对于转角

因此转轴n是矩阵R特征值1对应的特征向量。

求解此方程再归一化就得到了旋转轴。

也可以从“旋转轴经过旋转之后不变”的几何角度看待这个方程。

欧拉角

无论是旋转矩阵、旋转向量它们虽然能描述旋转但对我们人类是非常不直观的。

当我们看到一个旋转矩阵或旋转向量时很难想象出这个旋转究竟是什么样的。

当它们变换时我们也不知道物体是向哪个方向在转动。

而欧拉角则提供了一种非常直观的方式来描述旋转——它使用了3个分离的转角把一个旋转分解成

但是由于分解方式有许多种所以欧拉角也存在着众多不同的、易于混淆的定义方法。

比如说先绕X轴旋转再绕Y轴最后绕Z轴就得到了一个XYZ轴的旋转。

同理可以定义ZYZ、ZYX等旋转方式。

如果讨论得更细一些还需要区分每次是绕固定轴旋转的还是绕旋转之后的轴旋转的。

这种定义方式上的不确定性带来了很多实用当中的困难。

欧拉角当中比较常用的一种便是用“偏航−俯仰−滚转”yaw-pitch-roll3个角度来描述一个旋转。

它等价于ZYX轴的旋转。

假设一个刚体的前方朝向我们的方向为X轴右侧为Y轴上方为Z轴。

那么ZYX转角相当于把任意旋转分解成以下3个轴上的转角

yaw

±90◦时第一次旋转与第三次旋转将使用同一个轴使得系统丢失了一个自由度由

次旋转。

这被称为奇异性问题只要想用3个实数来表达三维旋转时都会不可避免地碰到奇异性问题旋转向量也有奇异性发生在转角θ超过2Π而产生周期性时。

由于这种问题欧拉角不适于插值和迭代往往只用于人机交互中。

我们很少在SLAM程序中直接使用欧拉角表达姿态同样不会在滤波或优化中使用欧拉角表达旋转因为它具有奇异性。

如果想验证自己的算法是否有错转换成欧拉角能够帮你快速分辨结果是否正确。