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96SEO 2026-02-20 08:16 0
inline">\(C_{n-1}\)，
inline">\(F(x)=\sum\limits_{i\ge2}C_{i-1}x^i\)。
inline">\(\binom{n}{a_1,\dots,a_k}\)
display">\[ans=\sum_{l=2}^{n}\frac{1}{l}\sum_{d=1}^{l}f(d)
其中
display">\[ans=\sum_{l=2}^{n}\frac{1}{l}\sum_{d\mid
\]
一个可能不对的证明：
inline">\(\frac{l}{\gcd(k,l)}\)。
inline">\(f(k)=f(\gcd(k,l))\)
inline">\(f(l/d)=\binom{n/d}{a_1/d,\dots,a_k/d}\times[x^{n/d}]F^{l/d}\)。
display">\[\begin{aligned}&
\sum_{l=2}^{n}\frac{1}{l}\sum_{d\mid
l}\varphi(d)f(\frac{l}{d})\\=&
\sum_{l=2}^{n}\frac{1}{l}\sum_{d\mid
l}\varphi(d)\binom{n/d}{a_1/d,\dots,a_k/d}\times[x^{n/d}]F^{l/d}\\=&
-ans(d=1)+\sum_{d=1}^{n}\varphi(d)\binom{n/d}{a_1/d,\dots,a_k/d}\times[x^{n/d}]\sum_{k=1}^{n/d}\frac{F^k}{kd}
\end{aligned}\]
对于最右边那个
inline">\(\sum\limits_{k=1}^{n/d}\frac{F^k}{kd}\)，把
inline">\(-\ln(1-F)\)，其实就是泰勒展开一下。
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